Мы уже знакомы с простыми числами и основной теоремой арифметики и знаем, что любое составное число можно разложить на простые множители. Причем, если не учитывать порядка их записи, каким бы способом мы этого ни делали, множители будут одинаковыми.
Пришло время применить эти знания на практике. Вопрос – зачем это нужно? Ответ прост: разложение чисел на множители – самый легкий и надежный способ определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких чисел. Умение находить эти величины необходимо при совершении арифметических действий с простыми дробями.
Для начала нам необходимо вспомнить, что называется в математике делителем натурального числа, определение кратности и признаки делимости чисел.
Делителем натурального числа «а» называют число, на которое «а» делится без остатка.
Кратным натурального числа «а» называют натуральное число, которое делится на число «а» без остатка.
Таким образом, понятия делимости и кратности в математике неразрывно связаны.
а : в = с,
«а» – делимое, «в» – делитель, «с» – частное
Если делимое «а» делится на делитель «в» без остатка, то «а» кратно «в».
Признаки делимости чисел
Математики знают признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 9 и 10. Для того, чтобы разложить на простые множители сложное число, достаточно знать, какие числа делятся без остатка на 2, 3 и 5, поскольку 4, 9 и 10 относятся к сложным и в качестве таковых сами являются произведением простых чисел.
Вспоминаем:
На 2 без остатка делятся все числа, оканчивающиеся на 2, 4, 6, 8 и 0, т.е. четные.
Все числа, сумма цифр которых делится на 3, кратны трем.
На 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 5 и 0
Попробуем, используя признаки делимости чисел, разложить на множителя числа 875 и 2376.
Итак, число 875. Справа от него проводим вертикальную черту. Правее черты записываем простые делители этого числа, слева от неё результат деления до тех пор, пока частное не будет равно 1.
То же самое повторяем с числом 2376.
Таким образом, 875 можно записать в виде произведения простых чисел 5*5*5*7, число 2376 является произведением чисел 2*2*2*3*3*3*11.