Теорема Помпею́ - теорема, открытая румынским математиком Димитрие Помпею, была впервые опубликована в 1936 году.
Данная теорема имеет простую формулировку и несложное доказательство, но, тем не менее, очень многие её не знают.
Формулировка
Пусть на дуге AB описанной окружности правильного треугольника ABC выбрана произвольная точка P. Тогда имеет место равенство PC = PA + PB.
Доказательство
Рассмотрим поворот по часовой стрелке на 60° относительно точки A. Точка C перейдёт в точку B. Точка P - в некоторую точу P'. При этом треугольник APP', очевидно, равносторонний. Поскольку ∠APB = 120° (ведь он вместе с углом ACB в сумме даёт 180°, т.к. четырёхугольник ACBP - вписанный), а ∠APP' = 60°, то ∠P'PB = ∠ APP' + ∠ APB = 180°. Следовательно, точки P', P и B лежат на одной прямой.
Значит, PC = BP' = PP' + PB = PA + PB. Вот и всё, теорема доказана!
Обобщённая формулировка
Дан правильный треугольник ABC. Тогда для произвольной точки P справедливы неравенства PA⩽ PB + PC, PB ⩽ PA + PC, PC ⩽ PA + PB. При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда точка P лежит на дугах BC, AC, AB соответственно описанной окружности треугольника ABC.
Для знатоков
Теорему Помпею можно легко доказать, использовав теорему Птолемея (во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Попробуйте доказать сами, это очень просто!
А на этом всё!
Подписывайтесь на канал, ставтье лайк и пишите в комментарии идеи для следующих статей!
Как Умножить Любое Число На 11
Простейшее Свойство Биссектрисы, О Котором Все Забывают
Пять Фактов Об МКС, Которые Вы Не Знали
Сложнейшая Теорема Математики - Великая Теорема Ферма
Один Из Красивейших Математических Фактов - Малая Теорема Ферма