Напомним, что градиентом функции u=f(x, y, z) в точке М называется вектор, координаты которого равны, соответственно, частным производным du/dx, du/dy, du/dz в этой точке обозначается:
grad u=(du/dx, du/dy, du/dz) .
Градиент функции характеризует направление и величину скорости возрастания этой функции в точке.
Для вычисления градиента необходимо вычислить все частные производные заданной функции. Частная производная по какой-либо одной переменной вычисляется при "замороженных" других переменных (подобно вычислению производной функции одной переменной). В статье рассматривалась технология вычисления производной функции одного переменного. Используя приведенную в этой статье технологию будем вычислять и частные производные функции.
Рассмотрим пример.
Требуется найти градиент и его модуль для функции
z=4-x^2-y^2
в точке М(1,2).
На рабочем листе введем исходные данные, например, как на рис. 1.
Для вычисления частной производной dz/dx в ячейку F5 введем формулу
=(-(4-A5^2-B5^2)+(4-(A5+C5)^2-B5^2))/C5 (рис. 2).
Для вычисления частной производной dz/dy в ячейку G5 введем формулу
=((4-A5^3-(B5+D5)^2)-(4-A5^3-B5^2))/D5 (рис. 3).
В результате вычислений получим значения градиента заданной функции в точке М(1,2) grad z=(-2, -4) (рис. 4).
Полученный результат полностью соответствует решению, полученному аналитическим решением.
Действуя подобным образом, можно вычислить градиент функции n переменных в заданной точке.