Александр Петрович родился в крестьянской семье в д. Черниченки Владимирской обл. В 1931–1935 гг. он учился в Москве на экономическом факультете Высшего педагогического института прикладной экономики и товароведения Центросоюза СССР. Уже в годы учёбы Александр Климов работал в системе промысловой кооперации, преподавал в учебном комбинате Московского облпотребсоюза. После окончания института был направлен в кооперативный техникум в Перловке, где с сентября 1935 г. работал последовательно преподавателем, заместителем директора и директором.
Накануне войны 25-летнего Климова направляют в Одессу организовать институт кооперативной торговли. С началом Великой Отечественной, после эвакуации в октябре 1941 г., он трудится в кооперативной торговой школе и работал в обкоме партии на Алтае.
С июля 1943 г. он — начальник управления учебных заведений Центросоюза, с мая 1948 г. — заместитель председателя правления Центросоюза.
С 1953 года Александр Петрович работал заместителем министра торговли СССР, но через год был избран председателем правления Центросоюза СССР. Председателем он переизбирался ещё пять раз и занимал эту должность в течение почти 25 лет.
За этот период потребительская кооперация сделала заметный рывок вперёд, особенно в увеличении объёмов хозяйственной деятельности. В растущих количествах закупались сельскохозяйственные продукты и сырьё. Успешно развивалось хлебопечение, росло производство колбасных, кондитерских и других изделий. Была существенно обновлена материально-техническая база потребительской кооперации. В городах и селах строились преимущественно типовые магазины, столовые, хлебопекарные предприятия, которые оснащались современным оборудованием.
Активно внедрялись прогрессивные методы продажи товаров и формы обслуживания покупателей. По опыту кооператоров зарубежных стран жителей малых деревень и тружеников полей впервые стали обслуживать автолавки. Тогда же было начато внедрение самообслуживания, и вскоре каждый второй кооперативный магазин работал по этому методу. В этот период создавались так называемые» народные магазины и ларьки» без продавцов, но идея себя не оправдала, и эта работа была свёрнута.
В первые годы после своего избрания председателем правления Центросоюза Климов предпринял ряд шагов по восстановлению внутрикооперативной демократии. Стали строже контролировать соблюдение уставных принципов кооперации, было введено избрание в органы управления и контроля тайным голосованием, установлена ежеквартальная отчётность правлений потребительских обществ перед пайщиками и т. д. В период “хрущёвской оттепели” были выдвинуты привлекательные лозунги: расширение прав пайщиков, демократизация кооперативной жизни, децентрализация управления хозяйством. Быстро росла численность членов потребительских обществ, чему способствовали снижение ставки паевого взноса и преимущественное право пайщика на приобретение дефицитных товаров.
Возрастающее внимание уделялось обобщению и распространению передового опыта. По инициативе Климова было создано издательство Центросоюза, стал регулярно выходить журнал “Советская потребительская кооперация”, на ВДНХ создан павильон №57 «Центросоюз».
Большое значение Климов придавал подготовке специалистов. Благодаря его личному участию в 1959 г. удалось возродить Московский кооперативный институт (ныне Российский университет кооперации). Тремя годами раньше в Новосибирске был организован институт советской кооперативной торговли (ныне Сибирский университет потребительской кооперации). В 1978 г. потребительская кооперация имела 6 вузов с филиалами и отделениями в 11 городах и 124 техникума.
В Московском кооперативном институте был открыт факультет зарубежных кооператоров, который готовил кадры для развивающихся стран Азии, Африки и Латинской Америки.
Александр Петрович был автором большого количества книг, брошюр и статей, и все они посвящены потребительской кооперации.
С 1954 г. Климов являлся вице-президентом Международного кооперативного альянса. В историю мирового кооперативного движения вошли его доклады на конгрессах МКА. По его приглашению в 1956 г. впервые в Москве были проведены заседания ЦК и Исполкома МКА.
Награждён тремя орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, медалями. Похоронен на Новодевичьем кладбище Москвы.
Кооператоры России: история кооперации в лицах / К. И. Вахитов. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2016. — 568 с.