Продолжение. Начало в vzaimodeistvie-tela-s-silovym-polem-zadavaemym-napriajennostiu-5f60ca488169a878166286f2
Потенциал, потенциальная энергия.
Рассмотрим гравитационное поле Земли в качестве примера потенциального поля. Есть три практических примера гравитационных полей, которые известны практически всем. Это, во первых потенциальное поле на поверхности Земли, во вторых – это гравитационное поле Земли вне Земли, но в пределах его влияния на движение тел. Такими телами является естественный спутник Земли - Луна, а также искусственные спутники Земли, кружащие вокруг Земли. А третий пример – это Солнечная система, в которой вокруг Солнца вращаются восемь (или девять?) известных планет и большое количество малых планет – астероидов, а также кометы и другие более мелкие образования. Можно привести еще один тип объектов – звезды, которые почти равномерно распределены в ночном небе. Все они вращаются, по современным понятиям, вокруг центра нашей галактики, который называется Млечный путь – по видимому, потому, что она видна человеку как светлая полоса в ночном небе из множества почти невидимых или видимых как "туман" звездных объектов. Среди звезд есть несколько особых объектов – планеты, которые с течением времени меняют свои положения, двигаясь по сложной траектории. А также кометы – которые также, как и планеты, принадлежат Солнечной системе, и тоже движутся по сложным траекториям, но появляются достаточно редко и "почти" случайно.
Орбиты, по которым движутся эти объекты, по современным понятиям, подчинены определенным правилам или законам. Понимание этого в истории науки прошло длительный и сложный путь. От хрустальной сферы, к которой прикреплены звезды, через геоцентрическую систему Птолемея к гелиоцентрической системе Коперника. С тремя его закона движения планет. А далее – объяснением законов Коперника И.Ньютоном через открытый им закон Всемирного тяготения.
В настоящее время объяснение законов гравитации происходит через понятия потенциала j(r) и напряженность E(r) гравитационного поля, в котором они движутся. А эти поля создаются самими этими телами.
Гравитационное силовое поле взаимодействия между м.т. по Ньютону как целого в обобщенных координатах является потенциальным полем, поскольку взаимодействие м.т. зависит только от взаимного расположения отдельных м.т. в каждый момент времени или обобщенной координаты системы м.т.
Пусть φ(r,t) – некоторое скалярное потенциальное поле. Тогда мы можем определить поле напряженности этого поля через частные производные потенциала (здесь знак ≈ применен как знак численного равенства):(1.1)
и силы, действующей на пробный заряд:(1.2)
Поле Ei в математике называется градиентом скалярного поля и может быть записано в виде:(1.3)
По закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии м.о. должна сохраняться при движении:(1.4)
K + mφ = K + U = E₀.
Здесь U – потенциальная энергия м.о. Из этого следует, что за направление вектора напряженности Ei силового поля в механике должно приниматься направление уменьшения поля j(q) и это направление должно совпадать с направлением действия силы Fi на положительный заряд (массу). Второй закон Ньютона в ортонормированной системе координат для такого поля будет формулироваться так:(1.5)
Частная производная ∂φ/∂t = φ,₀ в классической механике не имеет какого–либо непосредственного физического или механического смысла, потому что она в соответствии со вторым законом Ньютона, соответствующему (1.1) - (1.5), не оказывает какого–либо механического эквивалента воздействия на м.т.
Свойства векторного поля
Кроме градиента потенциального поля, определяющего напряженность поля, можно определить еще две операции над скалярным потенциальным полем, точнее – над его градиентом – силовым векторным полем.
Одно из свойства гравитационного потенциального поля исходит из его "скалярности". А любое скалярное поле обладает свойством "неуничтожимости". Т.е. оно может создаваться только материальным объектом и не может существовать без него. Это свойство в математике записывается так:(1.6)
Здесь rotEi = Hij – специальная функция, называемая "ротор", с помощью которой можно определить "скалярность" или "безвихреватость" векторного поля Ei. Если оно равно нулю, то векторное поле можно определить как градиент некоторого скалярного поля. Кстати, если ротор не равен нулю, то векторное поле определено с точностью до градиента скалярного поля.
Дивергенции векторного поля divEi - еще одна полезная математическая операция. Через нее можно определить плотность источника поля:(1.7)
divE = ρ(x, y, z).
Математически через формулу она определяется следующим образом:(1.8)
Если ее значение везде равно нулю, то источника поля не имеется. Если просуммировать дивергенцию поля по конечному объему, то получим массу источника внутри этого объема. Если дивергенция равна нулю, то векторное поле является соленоидальным и определяется до вихревого векторного поля с нулевой "скалярной" частью.
Если Вы интересовались электродинамикой, то использование этих операций вы видели среди его основных уравнения.
Гравитационное поле на поверхности Земли.
Потенциал гравитационного поля относительно поверхности Земли в области определения не очень больших высот порядка нескольких км с высокой точностью определяется как(1.9)
φ(r) = gh.
Здесь g – ускорение скорости падения тел на поверхности Земли, равное приблизительно 9,81 м/с,
h – высота нахождения тела над поверхностью Земли.
Определим напряженность силового поля:(1.10)
Напряженность силового поля получилась постоянной и равной ускорению свободного падения тел. Сила, с которой Земля притягивает падающее тело, равно(1.11)
F(r) = mE = mg: mg – это вес тела.
Дивергенция, определяющая плотность источника гравитационного поля, в соответствии с (1.8), будет равна нулю, т.к. напряженность не изменяется ни с высотой, ни с отклонением от вертикали.
Ротор (1.6) гравитационного поля также равен нулю – по той же причине. Следовательно, поле скалярное потенциальное безвихревое.
Гравитационное поле Земли.
Потенциал гравитационного поля Земли определяется как(1.12)
Здесь g – фундаментальная гравитационная постоянная, приблизительно равная 6,6743*10⁻¹¹ м³/кг¹·с²,
R – радиус Земли, приблизительно равная 6371*10³ м,
m – масса Земли, приблизительно равная 5,97*10²⁴ кг,
h – высота нахождения тела над поверхностью Земли,
Определим напряженность силового поля:(1.13)
Вычислим:(1.14)
Дивергенция и ротор этого гравитационного поля также равны нулю – можете поверить/проверить.
-----------------------------------------------------------------------------------------
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!