Немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777–1855), считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Ещё в 19 лет Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма (3, 5, 17, 257, 65537), то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Столь замечательное открытие произвело на юного Гаусса такое впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры, и решил посвятить свою жизнь математике. Гаусс и позднее смотрел на это первое из своих открытий с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника, который впервые смог построить сам Гаусс (2020 г., про форму пьедестала здесь ошибка?).
Из открытия Гаусса следует, что правильный многоугольник можно построить при помощи циркуля и линейки (это очень важные слова и об этом ещё будет сказано ниже), если число его сторон (G) выражается следующей формулой (теорема Гаусса – Ванцеля):
G = (2^n)(3^a)(5^b)(17^c)(257^d)(65537^f), (1)
где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… – показатель степени (любое натуральное число), а показатели степени a, b, c, d, f – принимают значения 1 или 0, при этом 1 – «включает» соответствующее простое число Ферма в формуле (1), а 0 – его «включает», поскольку любое число в степени 0 всегда равно единице (такое правило принято в математике, причём даже 0^0 = 1). Поскольку показатель степени n может быть бесконечно большим (натуральным) числом, то и количество сторон у правильного многоугольника неограниченно велико (число G может быть бесконечно большим). Например, формула (1) «разрешает» указанное построение правильного 51-угольника, поскольку мы можем записать:
G = (2^0)(3^1)(5^0)(17^1)(257^0)(65537^0) = 1*3*1*17*1*1 = 51.
А вот, например, указанное построение правильного 7-угольника, формула (1) «запрещает», то есть не при каких (из указанных выше) значениях n, a, b, c, d, f – формула (1) не выдаст нам G = 7.
Занятно, что в Википедии в статье «Правильный многоугольник» (в 2011 г., когда мной была написана данная статья), рассказывающей в основном именно о теореме Гаусса – Ванцеля, приведен единственный рисунок и на нём изображен правильный… семиугольник. Однако, повторяю, что правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки. Указанные построения – это особый раздел евклидовой геометрии (известный с античных времён), в которых циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности: линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор (и такая идеализация инструментов весьма существенна с точки зрения математики – предельно строгой в своих рассуждениях науки). Так вот, правильный семиугольник все же можно построить, но только с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки, и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).
Из формулы (1) ясно следует, что многоугольники Гаусса – Ванцеля, (ещё раз) построенные с помощью циркуля и линейки, могут иметь лишь следующее число сторон: G = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, и т.д. (до бесконечности).
Из формулы (1) при n = 0 (когда 2^n = 2^0 = 1) мы получаем 32 всевозможных сочетания степенных показателей a, b, c, d, f, то есть 32 – это результат размышлений над чисто комбинаторной задачей. Ниже (в рамочке) приведен «графический образ» решения данной задачи – выписаны первые 16 сочетаний показателей a, b, c, d, f (их значений соответственно), а если в первой колонке (т.е. показатель а) заменить все 0 на 1, то мы получим и последующие 16 сочетаний. Это позволяет легко вычислить первые 32 значения параметра G (см. рис. с колонками цифр):
Найденные таким образом 32 сочетания (числовых значений a, b, c, d, f), после подстановки их в формулу (1), дают нам 32, скажем, базовых, значения G (после их сортировки по возрастанию): 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295.
Здесь также уместно заметить, что число 32 не только в (виртуальном) мире натуральных чисел, но и в реальной природе также обладает некой «магией» (подобно магии числа 7, см. статью автора на Дзене), и вот тому «доказательства»: 32 варианта расположения атомов вокруг узла решетки (см. кристаллографию); почти 32 скопления галактик в крупнейшем из сверхскоплений (галактик); 32 зуба у человека; 33–34 позвонка в позвоночнике человека; (26 костей в стопе ноги и 27 костей в кисти руки человека); 32 краски на палитре художника (это разумный максимум цветов); до 33 основных языков насчитывается на нашей планете; до 33 букв содержат большинство алфавитов на планете; 33 термина указывают темп в музыке; 33 значимых религии на планете; 33 года – «возраст Христа» (расцвет человека); 39 спутников у Юпитера (это максимум в Солнечной системе); 46 хромосом в структуре ДНК; 31 залп из орудий в Кремле при инаугурации Президента России В. В. Путина (7 мая 2012 года); и т.д. (см. в Википедии статью «32 (число)», сами дополните список подобных примеров «магии» числа 32).
Всё остальное (бесконечное!) множество «разрешенных» значений G мы получаем путем умножения 32 базовых значений на число 2^1 = 2, на число 2^2 = 4, на число 2^3 = 8, на число 2^4 = 16, и т.д. – именно так мы и получаем все возможные количества сторон (G) по формуле (1).
При этом встает вопрос о том, каким значением G имеет смысл ограничиться (в наших исследования)? В рамках числофизики (виртуальной космологии) ответ будет следующим. Радиус видимой нами Вселенной можно принять равным R = 8*10^60 планковских длин (планковскую длину квант света проходят за планковское время, возраст Вселенной около 13,75 млрд лет или 8*10^60 планковских времен), значит, длина (гипотетической) наибольшей окружности во Вселенной будет порядка 2*π*R = 2*3,14*R = 5*10^61 планковских длин. Поэтому в первом приближении можно полагать, что всю нашу Вселенную может «охватить» правильный многоугольник, у которого число сторон порядка G = 5*10^61, поскольку сторона любого мыслимого многоугольника, очевидно, не может быть меньше планковской длины – этот запрет накладывает современная нам теоретическая физика. Если все возможные многоугольники Гаусса – Ванцеля, «генерируемые» формулой (1), отсортировать по возрастанию параметра G, то мы получим «всего лишь» 6060 многоугольников (не так уж и много по сравнению с колоссальным числом 5*10^61), у наибольшего из которых число сторон будет равно G = (2^177)(3^1)(5^1)(17^0)(257^1)(65537^1) = 4,8*10^61 (округленное значение G). Следующим будет 6061-й многоугольник с числом сторон G = (2^197)(3^1)(5^1)(17^1)(257^0)(65537^0) = 5,1*10^61. При этом можно озадачиться следующим вопросом: число 6060 (или более осторожно – около 6000) также обладает некой «магией» в реальной природе?
Сколько многоугольников Гаусса – Ванцеля, то есть «генерируемых» формулой (1), находится между значениями от G = 10^(B–1) (включительно) до G = 10^B? Ответ на этот вопрос довольно интересен и по-своему красив. При В= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 61, 62 речь идет о следующих интервалах значений: от G = 10^0 до G = 10^1; от G = 10^1 до G = 10^2; от G = 10^2 до G = 10^3; …; от G = 10^61 до G = 10^62. Показатель степени В можно также понимать в качестве номера соответствующего интервала. Здесь выявляются следующие закономерности. Первые 9 интервалов (при В = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) содержат следующее количество (К) многоугольников Гаусса – Ванцеля (количество значений параметра G в каждом из этих первых 9-ти интервалов): К = 7, 19, 28, 41, 52, 61, 74, 83, 93. То есть в интервале от G = 1 до G = 10 есть 7 многоугольников; в интервале от G = 10 до G = 100 есть 19 многоугольников; в интервале от G = 100 до G = 1000 есть 28 многоугольников; … ; в интервале от G = 100.000.000 до G = 1.000.000.000 есть 93 многоугольника Гаусса-Ванцеля. Указанный рост параметра К можно описать линейной функцией (линией тренда, полученной с помощью программы “Excel”):
К = 10,8*В – 3,1111. (2)
Важное замечание. В первом интервале (при В = 1, где G растет от 1 до 10) первые многоугольники Гаусса-Ванцеля – это многоугольники с числом сторон… G = 1 и G = 2. «Сходу» нельзя ни представить, ни объяснить столь «экзотические» многоугольники (с одной и двумя сторонами!), тем не менее, формула (1) их «выдает», поэтому будем с этим считаться, но пока не будем задавать вполне законный вопрос – а что бы это значило (G = 1 и G = 2)? Попробуйте сами пофантазировать на этот счёт.
В последующих 52-х интервалах (при В = 10, 11, 12, 13, …, 60, 61) мы будем получать (на первый взгляд – число случайным образом?) значения исключительно из следующего ряда: К = 104, 106, 108, 110, 112. Для указанных 52-х значений К линию тренда можно описать такой формулой:
К = 106,61 – α∙В, (3)
где α = 0,00729735308 – постоянная тонкой структуры (она примерно равную числу 1/137) – это самая загадочная (и безразмерная) фундаментальная физическая константа. Ричард Фейнман (1918-1988), выдающийся американский физик-теоретик, один из «отцов» квантовой электродинамики (объясняющей фундаментальные основы мироздания), лауреат Нобелевской премии по физике (1965 г), как-то назвал постоянную тонкой структуры – «одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком...».
Ещё можно добавить, линия тренда (3) проходит чуть выше точки К = 106 и это единственное именно такое значение К(при В = 36) среди указанных 52-х значений К. При В = 60 и В = 61 имеем К = 108, а вот уже при В = 62 – мы получим К = 104.
Если ввести обозначения: Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – порядковый номер многоугольника Гаусса-Ванцеля (после сортировки их всех по возрастанию параметра G), то тогда для параметра G можно записать следующие приближенные формулы (законы роста G):
при Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 500 получаем: G = exp(0,955*Z^0,5), (4)
при Z = 501, 502, 503, …, 31000 получаем: G = 45890*exp(0,02166085*Z). (5)
Эти формулы также подтверждают, что в начале (при Z = 1, 2, 3, …, 500) происходит, вообще говоря, довольно бурный рост параметра G (он увеличивается почти на 9 порядков), и этот рост в 2–3 раза быстрее, чем по «классической» экспоненте, каковой является в частности и формула (5). После столь бурного роста (условно говоря, после Z = 500 и G = 2.155.905.152) параметр G растет, вообще говоря (то есть в среднем), близко к экспоненте (5). При этом у 94% всех значений, полученных по формуле (5) (при указанных Z) модуль относительной погрешности G не превысит 9,4%. И вполне возможно, что указанный (близкий к нему) экспоненциальный рост G происходит при бесконечном увеличении порядкового номера Z. Так, например, 32272-й многоугольник Гаусса-Ванцеля (при Z = 32272) содержит порядка G = 1,78*10^308 сторон – такой многоугольник-монстр даже и не пытайтесь представить в своём воображении…
В заключение привожу главный вопрос числофизики (виртуальной космологии) в части многоугольников Гаусса-Ванцеля – эти многоугольники (математические закономерности, описывающие их) имеют отношение к реальному (физическому) миру? Сам автор на данный вопрос, как всегда, отвечает утвердительно, хотя данная статья (тоже как обычно) не содержит очевидных доказательств…
© А. В. Исаев, 2011
(с уточнениями от 17.09.2020)