Для того, чтобы вникнуть в предмет и понять его, необходимо проследить его историю становления и возникновения. Поэтому, чтобы начать изучать теорию множеств, необходимо знать, какие предпосылки имелись для её возникновения и как шло её развитие. В таком случае начнем изложение теории множеств с её истории.
Формальное отступление.
В тексте будут приводится ссылки в виде [•], где вместо точки будет стоять номер (число) ссылки на источник, список которых будет приведен в конце статьи. Отступление закончено.
Становление идеи
С понятием множества человек знаком с незапамятных времен, собственно становление математики обязано тому, что человек начал работать с теми или иными множествами сам явно не выделяющий и не запечатлевающий это понятие в культуре. Например, создание натуральных чисел, с их применение в счете предметов.
Оно [множество] витало в мыслях древних мыслителей не один век, уже начиная с первых математических текстов. Активно, но косвенно, т. е. множество не выделялось в самостоятельный объект, идея множества использовалась в базовых математических операциях: сложение / вычитание, умножение / деление. Особенно ярко идея множества проявила себя в операции сложения, что даже стало, по-видимому, одним из основных факторов, формировавших представление о множестве. Ведь что мы подразумеваем под сложением? Для нас, сложение — суть объединения кучек тех или иных предметов в нашем уме силою мысли, и то какие кучи мы будем складывать зависит от нас, поскольку при сложении, мы складываем количества предметов. Операцию сложения и то, как оно связанно со множество иллюстрирует рис. 1.
Формальное отступление.
Чтобы часто, хотя и обоснованно, не использовать слово «множество», здесь и дальше, оно будет заменятся его синонимами: набор, совокупность, объединение, класс, семейство, коллекция, группа, комбинация, сочетание. Отступление закончено.
Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён Древней Греции: например, в том или ином виде рассматривались отношения включения множеств всех рациональных, целых, натуральных, нечётных, простых чисел [5].
Одним из примеров, в котором развивается логическое представление о понятии совокупность, представлено в т. н. дереве Порфирия (см. рис. 2).
Оно является графической схемой, с помощью которой изображается ход дедуктивного дихотомического деления понятия. Эту идею здесь раскрывать не будем (не тема данной статьи), подробнее о ней можно узнать из статьи на Википедии.
Ещё одной проблемой, связанной с понятием класс, по-видимому одной из важнейших, является целый набор вопросов затрагивающих понятие бесконечности, как категории (достаточно важной абстракции) человеческого мышления, используемого для характеристики безграничных, неограниченных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание каких-либо границ, например, размер Вселенной, досконально неизвестно имеет ли она конечные размеры. Одним из самых знаменитых деятелей пытавшегося «укротить» концепцию бесконечности был Зенон Элейский, с его не менее знаменитыми апориями [4]. Важнейшим стоял вопрос об экзистенциальности бесконечности, т. е. проблема того, что существуют ли бесконечности или нет. Этот вопрос теперь именуется как: актуальность и потенциальность бесконечности. Актуальная бесконечность — это существующая бесконечность, а потенциальная — достижимая, т. е. бесконечность, которую можно достичь или приблизиться к ней. Эти вопросы и подтолкнули мыслителей 19 века к теоретико-множественным разработкам.
Собственно более содержательных примеров использования понятия набор до середины 18 века не возникало. Так или иначе это понятие явно и неявно использовалось в тех или иных разделах математики: теории, чисел, геометрии (например — геометрическое место точек), алгебре и др.
Официально, история развития теории множеств начинается с 19 века, когда в немецкоязычных государствах, были некоторые тенденции в работе мысли, которые способствовали принятию и развитию актуальной бесконечности (например, возрождение идеи Лейбница). Хотя один из знаменитейших математиков мира — Карл Фридрих Гаусс утверждал, что идея бесконечности — это лишь способ нашего языка неформально выражать математические идеи. Несмотря на это, Бернард Больцано, Бернхард Риман, Рихард Дедекинд стали зачинателями теории множеств, хотя они и были предшественниками Георга Кантора, который считается отцом теории множеств.
Больцано, развивая идеи теории множеств, видел её развитие в чисто абстрактном варианте, которое могло быть достигнуто, если бы мы освободили её [теорию множеств] от метрических концепций (которые пришли вместе с развитием проективной геометрии и топологии), т. е. перестали рассматривать понятия: расстояние, количество элементов и т. д. в связке с теорией множеств.
Риман же придерживался противоположной точки зрения. В своей статье, за 1854 г., «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» (англ. «On the Hypotheses which lie at the Foundations of Geometry») развивал идеи топологии и утверждал, что всю математику можно обосновать теорией множеств. Его страсть к теоретико-множественному подходу проявлялась в том, что он упорно настаивал, в след за Дирихле, что функция должна пониматься как произвольное соответствие между числовыми значениями, независимо от того, может ли она быть представлена формулой или нет; это означало оставить позади времена, когда функция определялась как аналитическое выражение.
В 1864 году Дедекинд публикует статью Римана, за 1854 г., и статью о тригонометрических рядах, например ряд Фурье является тригонометрическим рядом:
Последняя серьезно продвинула развитие теории функций вещественного переменного, которая также называется реальным анализом, как раздел математического анализа, в исследовании разрывных функций. Вот в это направление вошел молодой Георг Кантор. Особенность работы Кантора в этом направление стало то, что он начал работать с т. н. наборами точек (которое также называется точечным множеством), что отсылает нас к графическому представлению функции, т. е. к её графику. Он [Кантор] ввел некую операцию над этими совокупностями точек, о чем будет сказано далее, и вскоре он начал размышлять о возможности повторять эту операцию до бесконечности и дальше.
Между тем, Дедекинд использовал свое нововведение в контексте своей работы по алгебраической теории чисел Дедекинд ввел по существу теоретико-множественную точку зрения, определяя поля и идеалы алгебраических чисел. Эти идеи были представлены в очень зрелой форме с использованием операций над множеством и отображением, сохраняющего структуру. Рассматривая кольцо целых чисел в данном поле алгебраических чисел, Дедекинд определил некоторые подмножества, называемые «идеалами», и оперировал этими множествами как новыми объектами. Этот шаг стал ключевым на пути к созданию полноценной теории множеств, поскольку многие из обычных теоретико-множественных процедур математики двадцатого века восходят к его работе [1].
Вернемся к Кантору. В 1874 г. он публикует трехстраничную статью «Об одном свойстве класса всех вещественных алгебраических чисел» [2, 3](англ. «On a Property of the Class of all Real Algebraic Numbers»), с которой и начинается история теории множеств, как самостоятельной науки.
В дальнейшем наработки Кантора по теории множеств, как её теперь называют «наивная (или — канторовская) теория множеств», подверглись критике, поскольку были обнаружен, как это часто бывает, её парадоксы. После чего, теорию множеств начали формализовать и итогом, этого стала самая популярная аксиоматика теории множеств Цермело-Френкеля, её обозначают как ZF или модифицированная, с аксиомой выбора, — ZFC, об аксиоматике см. далее.
Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению теории множеств.
Теория множеств
Основные представления
Понятие множество не определяемо строго математически, но сам Кантор в своем труде «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» [6], множество определил как:
Под множеством мы понимаем объединение, силою нашей мысли, в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции и нашей мысли.
Оригинальный текст (нем.)
Unter einer «Menge» verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschieden Objecten munsrer Anschauung oderunseres Denkens (welche die «Elemente» von genannt werden) zu einem Ganzen.
Заметим сразу, что в определение Кантора, под различимостью, он имеет ввиду, что элементы, находящиеся во множестве, не будут одинаковыми, т. е. все элементы класса будут попарно различными.
Далее, мы вводим фундаментальной понятие для всей теории множеств, это т. н. отношение принадлежности ∈. Говорят, что некоторый элемент x является (принадлежит) элементом множества(-у) X и обозначают как:
Если же элемент x не принадлежит множеству X, то пишут:
Неформальное отступление.
Если вам неудобно мыслить эти понятия словесно, т. е. воспринимать их через текст, вы можете представлять наглядные образы, того, о чем говорится. Представлять это можно следующим образом. Пусть набор будет ассоциироваться с неким мешком, в который мы складываем предметы, которые ассоциируются с элементами. Например, в мешок мы складываем различные фигуры. Тогда принадлежность можно показать рис. 5, а непринадлежность рис. 6.
Думаю такая аналогия понятна, мы будем к ней прибегать всякий раз, когда будем вводить новое понятие, для его неформального определения и разъяснения. Но сразу замечу, что дальше все вводимые понятия будут формулироваться на теоретико-множественном языке, который мы начали излагать. Графическое изображение операций и отношений над элементами и множествами будут проводиться с помощью диаграмм Эйлера. Отступление закончено.
Сами множества будем обозначать прописными буквами латиницы, а элементы множеств — строчными буквами латиницы.
Чтобы показать, что множество состоит из каких-либо элементов, его обозначают фигурными скобками {}, внутри которых записывают его элементы и приравнивают эту запись к букве, которой мы обозначили совокупность, например:
Множество A состоит из элементов: 1, 3, g, k. Это был пример, одного из способов задания множества — обычное перечисление элементов класса, из которых оно состоит. Но этот способ достаточно редко используется в математической практике, поскольку им нельзя записать классы, в которых содержится бесконечное число элементов, например, таким образом нельзя записать множество натуральных числе ℕ. поэтому существует другой способ. Он заключается в том, что при задании множества мы указываем тот признак, которым обладают все те элементы, из которых будет состоять множество. Формульно запись такого множества схожа с предыдущей, только мы сначала в скобках пишем общий вид элемента, потом через вертикальную черту | записываем признак этого элемента, например:
Мы задали следующее множество. Множество B, это набор таких элементов x, что все x-сы, принадлежащие B, меньше двух. Думаю такой способом задания класса читателю понятен. Возможно, читателю неясно обозначение ∀x. Значок ∀ называется квантором (от лат. quantus — «как много, сколько») всеобщности, он говорит о том, на для какой области элементов верно последующее выражение (формула), из названия этого квантора можно догадаться о том, что речь идет о всех элементах, в нашем случае о всех «иксах», ещё можно дополнить, что знак этого квантора это перевернутая буква A, которая взята из английского слова all — «все». Также нам необходимо ввести ещё один квантор — квантор существования ∃, стилизованная буква E от английского слова exists — «существует» [7]. Квантор существования говорит о том, что найдется (существует, есть) хотя бы один (т. е. может быть и больше) такой элемент, для которого будет верная данная формула. Но когда мы хотим подчеркнуть выполнимость формулы только для одного элемента, то пишут ∃!, т. е. найдется единственный элемент такой, что... Далее, мы будем постепенно вводить новые обозначения при формулировках.
Операции над множествами
Перейдем теперь непосредственно к операциям, которые мы можем производить над множествами.
Объединение множеств.
Операция сама по себе восходит к обычной операции сложения, как в предшествии, в истоках теории множеств, говорилось об операции сложения. Если приводить аналогию с мешками, то объединение множеств, это высыпание содержимого двух разных мешков в один.
Дадим строгое определение этой операции.
Определение 1.
Если даны два множества A и B, то их объединением называется такое множество A ∪ B (знак ∪ обозначает объединение), которое содержит элементы хотя бы одного из множеств:
Появился новый знак «∨», это т. н. операция дизъюнкции или логическое ИЛИ. Она говорит о том, в контексте теории множеств, что множество C будет содержать элементы хотя бы одного из множеств A или B.
Операцию объединения, как говорилось ранее, можно представить диаграммой Эйлера (см. рис. 7).
Как она устроена. Множества на ней обозначаются кругами, а отношения их пресечениями и закрашиваниями их частей, получающихся при их пересечении. В данном случае, объединение выглядит как закрашивание области пересечения кругов и оставшихся частей. Части, которые не входят в эту операцию или отношение имеют белый цвет.
Отношение включения.
По аналогии с мешками. Под отношением включения имеется ввиду, что есть у нас два мешка с какими-нибудь предметами. Тогда под отношением включения одного мешка к другому мы понимаем то, что в одном мешке находятся все такие предметы, которые есть и в другом. Если в одном из таких мешков предметов больше чем во втором, то по отношению второго мешка к первому, он будет называться собственным подмножеством первого. Если в двух мешках лежат абсолютно одинаковые предметы, то такие мешки будут называться равными. Перейдем к определениям.
Определение 2.
Отношением включения множества A, состоящего из некоторых x, во множество B, также состоящего из некоторых x, называется такое множество A ⊆ B, которое содержит все такие элементы множества B, которые составляют все множество A, и тогда говорят, что A по отношению к B — подмножество множества B:
Новый символ ⇒. Обозначает следование или влечение. Вообще говоря, это операция, которая называется импликацией (иногда — материальная импликация). Она говорит о том, что если то, что стоит справа и то, что стоит слева — истинно, то тогда истинная и сама импликация.
Диаграмма Эйлера имеет вид (см. рис. 8).
Определение 2 дает общее включение, но как приводилось в аналогии с мешками, есть ещё так называемое собственное подмножество. Что это такое было пояснено в аналогии, а теперь запишем его математическую формулировку. Но для того, чтобы это сделать нам надо определить важное отношение, между множествами, — отношение равенства двух множеств.
Равенство множеств.
Определение 3.
Два множества A и B, состоящие из неких x, равны тогда и только тогда, когда множество A состоит из тех элементов, из которых состоит и B, поскольку мешочная аналогия уже была приведена, то перейдем сразу к формульному определению:
Новый знак ⇔. Означает, что, если то, что стоит от знака справа и то, что от знака слева истинно, то и истинна эта операция и наоборот: то, что стоит слева и то, что стоит справа истинно, то и истинна сама операция. Эта операция называется двойной импликацией, она говорит о том, что правая и левая части равны, равносильны, эквивалентны. Двойной импликацией её называют неспроста, поскольку эту операцию можно представить в виде одновременного выполнения двух следующих импликаций:
И здесь снова появился новый знак ∧. Не волнуйся читатель скоро все необходимы обозначения мы доразберем. Попавшийся знак очень сильно похож на дизъюнкцию, только перевернутую и это неслучайно ведь он является также логической операцией и имеет значение логического И, а называется конъюнкцией. Значение этой операции в том, что она требует одновременного выполнения тех выражений, которые находятся по правую и левую стороны от неё, т. е., если обращаться к определению двойной импликации, то в нем следование А из B и B из A должны быть одновременно истинными.
Ещё можно ввести такое множество, которое не имеет элементов, т. е. пустое множество. По аналогии, это мешок, в котором ничего нет.
Пустое множество.
Пустое множество, это такое множество, в котором ни над одним элементом, не выполняется отношение равенства.
Теперь все готово, чтобы определить собственное подмножество, читатель может попробовать сам догадаться, какое условие должно добавиться в определение.
Собственное подмножество.
Определение 4.
Думаю комментарии излишни.
Операция пересечения множеств.
Под пересечением множеств мы понимаем такое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые есть в первом и во втором множестве. Прибегнем к мешочной аналогии. Пусть в одном мешке лежит яблоко, карандаш, бумага, ножницы, а во втором — карандаш, апельсин, бумага. Тогда, пересечением этих мешков будет такой мешок, в котором лежат карандаш и бумага.
Определение 5.
Пересечением двух множеств A, состоящего из x, и B, состоящего из x, называется такое множество, которое состоит только из тех x, из которых состоит, как множество A, так и множество B.
Диаграмма Эйлера представлена на рис. 9.
Операция разность (вычитание) множеств.
Мешочная аналогия. Обратимся к предыдущей аналогии, возьмем те же мешки: в одном мешке лежит яблоко, карандаш, бумага, ножницы, а во втором — карандаш, апельсин, бумага. Вычитанием второго мешка из первого, будет такой мешок, который состоит из тех предметов, из которых состоит первый мешок, но не состоит второй. Т. е. мы просто вытащили те предметы из первого мешка, которые совпали с предметами второго мешка.
Определение 6.
Разностью двух множеств A, состоящего из x, и B, состоящего из x, называется такое множество, которое состоит из тех и только тех элементов, из которых состоит множество A, но не состоит множество B.
Диаграмма Эйлера представлена на рис. 10.
И последняя, но очень важная операция выполняемая над множествами...
Операция прямого (декартового) произведения множеств.
Снова берем предыдущий пример с мешками. Возьмем те же мешки: в одном мешке лежит яблоко, карандаш, бумага, ножницы, а во втором — карандаш, апельсин, бумага. Их прямым произведением будет такой мешок, которые состоит из класса мешков, в которые помещено по два предмета. Так в первый такой мешочек мы можем положить сначала яблоко и карандаш, в следующий мешочек снова яблоко и апельсин, потом яблоко и ножницы, поскольку к яблоку нечего больше приложить, мы его оставляем и берем другой предмет из первого мешка и уже с ним проделывает те же действия и так у нас получится декартово произведение мешков.
Определение 7.
Прямы произведением двух множеств A, состоящего из x, и B, состоящего из y, называется такое множество, которое состоит из упорядоченных пар (x, y).
Здесь мы уже встречаемся с новым видом множеств — множество множеств или — семейство классов. Получается, что результатом прямого произведения становится совокупность, которая состоит из наборов, в каждом из которых находится по два элемента. При этом их расположение непроизвольное, а важен порядок, в котором располагается элемент x и элемент y, поэтому эта пара и называется упорядоченной. При этом необходимо заметить то, как строятся такие упорядоченные множества.
Сначала мы берем какой-либо элемент из первого множества и сопоставляем ему все элементы второго множества, каждый сопоставленный элемент из второго множества формирует новую пару с данным элементом из первого множества. Как только все вторые элементы сопоставлены, мы берем следующий элементы из первого множества и проделываем всё те же операции, которые проделывали с предыдущим элементом из первого множества.
Этот принцип хорошо поясняет рис. 10.1.
Упорядочивание может строится различными способами, имеется ввиду, что порядок элементов может определяться различными признаками, которым элементы соответствуют. Например, мы могли бы расположить их в таком порядке, что между любым x и y должно выполнятся постоянно соотношение: x > y. Важность этой операции сейчас вы поймете.
Отображения
Отображения, или функции, или функциональные зависимости являются одним из важнейших понятий в математике. С функция мы знакомы со школы, наверное, все помнят слова парабола, гипербола, синусоида и т. д. Ведь неспроста нас обучали работе с функциями, построению их графиков и их преобразования. Функциями просто наполнен весь окружающий нас мир. Смена дня и ночи, является функцией времени, скорость тела является функцией координаты, а координата — функцией времени. Вес тела, находящегося на опоре, является функцией, его массы и т. д. Функций много, но что они под собой подразумевают. Функцию можно представить как «черный ящик», в неё что-то вкладываешь, а она что-то выдаёт. Например, возьмем функции, которые «работают» с числами. Функция гиперболы, частного случая, имеет вид: 1/x, где x — это та переменная, в которую мы подставляем одни числовые значения, а получаем другие, например x = 2, тогда функция примет вид 1/2. Этот x, как известно, называется аргументом функции, от него зависят значения нашей функции. Функцию можно представить как автомат напитков: вложишь в него одну сумму, сможешь получить только определенные напитки, вложишь больше, сможешь купить более дорогие. Иными словами, идея функции с интуитивно понимаемыми зависимостями одних предметов и явлений от других; изменения состояния одного предмета приведет к не минуемому изменению другого. Таким концептом обладали наши далекие предки, которые могли по звездам, предсказывать, когда наступят холода или когда начнется миграция животных. Египтяне, например, могли по времени года предсказывать разлив Нила и вместе с этим понимали, когда надо проводить сельскохозяйственные работы.
Идею функции отличным образом иллюстрирует рисунок 11.
Но развитие математики и теории множеств пересмотрели этот взгляд на функции сделав его более абстрактным.
Развитие математики, её разделов, привело к тому, что были пересмотрены взгляды на понятие функции. Математики начали больше абстрагироваться от конкретной аналитической записи функции, и начали придерживаться взглядов близких по смыслу к аналогии с черным ящиком. Ведь действительно, если посмотреть на всё многообразие функций, что в сущности они в себе заключают. Например у нас есть набор натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5. И есть функция натурального аргумента, т. е. последовательность: f(n) = 2n + 3. Чтобы узнать её значения нам необходимо произвести соответствующие арифметические операции, т. е. неким образом преобразовать значение аргумента и получить значение функции, которое, как видно, тоже будет натуральным числом. Если бы мы не знали аналитического вида функции, но знали значения аргументов и значения функции при этих аргументах, то можно было бы заметить, что весь смысл функции заключается в том, чтобы по данному значению аргумента определить, через определенное правило, закон, ему соответствующее значение функции. Иными словами, функция проводит сопоставление одних чисел другим, в соответствие с законом, который является аналитической записью функции. Чем ближе к Солнцу мы будем приближаться, тем до более высоких температур будем нагреваться, т. е. расстоянию от Солнца до нас соответствует (сопоставлена) определенная температура, до которой мы можем нагреться. Функция берет одни элементы и сопоставляет, по определенным правилам, им другие, вот в чем суть функции, поскольку соответствию и сопоставлению синонимично слово отображать, то функцию стали называть отображением.
Выше приведенный пример можно проиллюстрировать следующим образом (см. рис. 12.)
Схема приведенная на рис. 12 также называется коммутативной диаграммой и служит как раз для графического изображения теоретико-множественных отношений и конструкций.
На рисунке 13 можно увидеть графическое изображение функции, которая сопоставляет каждой фигуре её цвет, оно также является коммутативной диаграммой.
В теории множеств отображение или функцию символично записывают как:
Т. е. сначала пишется обозначение отображения (f), затем множество элементов, которое будет отображаться, (X), стрелка, указывающая на то, какое множество на какое будет отображаться и само множество, на которое отображается первое (Y). В таком случае множество X будет называться областью отправления отображения, а множество Y областью прибытия. А элементы x ∈ X по отношению к y ∈ Y будут называться прообразами образов y ∈ Y. Если мы хотим обозначить то, что при данном «иксе» функция имеет значение «игрек», мы пишем:
Если мы хотим показать, что такой-то прообраз x сопоставляется, отображается, при некотором отображении f, такому-то образу y = f(x), то пишут:
Во второй варианте, поскольку ясно, при каком отображение происходит отображение, то обозначение над стрелкой ↦ не пишут.
Любое отображение можно классифицировать одному из трех типов: сюръективные, инъективные и биективные отображения.
Сюръективность.
Определение 8.
Отображение f : X → Y сюръективно, если каждому образу соответствует хотя бы один прообраз, т. е. отображение должно соответствовать условию:
На рис. 14 изображен пример коммутативной диаграммы некоторой функции.
Инъективность.
Определение 9.
Отображение f : X → Y инъективно, если разным образам соответствуют разные прообразы, т. е. отображение должно соответствовать условию:
Иными словами, если при некоторых иксах, значения функций совпадают, то из этого следует, что и значения аргументов также совпадают.
На рис. 15 изображена коммутативная диаграмма некоторой инъективной функции.
Биективность.
Определение 10.
Отображение f : X → Y биективно, если оно сюръективно и инъективно одновременно (см. рис. 16.) Получается, что каждому образу соответствует единственный прообраз и наоборот. Биекция иначе называется взаимно-однозначным соответствием и такое отображение бывает обозначают как:
Разберем теперь композицию или суперпозицию отображений.
Композиция (суперпозиция) отображений.
Определение 11.
Представьте, что есть отображения f : X → Y и g : Y → Z. Т. е. отображение f отображает X на Y, а g — Y на Z, тогда их композицией g • f будет следующее отображение:
Т. е. суть композиции состоит в том, что множество образов одной функции используется в качестве прообразов другой, тогда композицию можно рассматривать как функцию, которая отображает прообразы первого отображения на образы второго отображения.
Композицию можно представить в виде коммутативной диаграммой, представленной на рис. 17.
Стоит ещё заметить, что знак композиции функций может иметь вид ∘ или между обозначениями отображений может и не стоят знака, например, как при умножении (ab = a • b). Обращаю внимание также на порядок записи отображение при их композиции: последнее отображение стоит, в композиции, первым и в таком порядке записываются остальные.
Вернемся снова к функции (отображению). До этого мы достаточно сказали об использовании понятия функции, но до сих пор не дали строго (формального) определения функции, поэтому сейчас мы займемся этим. Для этого нам надо формализовать ещё одно понятие, понятие отношения. Что мы понимаем, когда говорим об отношении. Мы подразумеваем то, что те предметы, между которыми установлено данное отношение, находятся в некоторых связях. Например в математике. Возьмем отношение равенства: то, что стоит справа и то, что стоит слева от знака равенства, говорит о том, что эти предметы равны, идентичны, тождественны, например — 2 = 1 + 1. Иными словами, отношение равенства устанавливает связь подобности предметов их эквивалентность. Можно сказать, что отношение — это некоторый признак, которым мы можем охарактеризовать некоторое множество предметов, вещей.
Как же тогда понимается отношение в математике? Оно понимается на теоретико-множественном языке, как то множество всех тех предметов, между которыми установлено данное отношение.
Определение 12.
Бинарным отношением R, установленного между элементами множеств X и Y, называется прямое произведение множеств элементов x ∈ X и y ∈ Y, что между элементами пары установленное данное отношение: x R y (читается: «икс находится в отношении эр с игрек».)
Приведенное определение определяет т. н. бинарное отношение, т. е. отношение, которое установлено между двумя элементами. Бинарное отношение является самым многочисленным классом своих представителей, но не является единственным, в других областях знания, возникает тернарные отношения и отношения других арностей.
Теперь всё готово, чтобы сформулировать понятие функции на теоретико-множественном языке.
Определение 13.
Отображением f двух множеств элементов x ∈ X и y ∈ Y, называется прямое их произведение, такое, что y = f (x).
Здесь мы остановим повествование об отображениях и вернемся снова к множества, поскольку отображения нам понадобились для разговора о следующей теме.
Но перед эти хотелось бы отметить ещё один момент связанные с определениями. В начале раздела «Теория множеств» мы ввели, как уже можно сказать, отношение принадлежности. Если мы попробуемы, как до этого, определить его на теоретико-множественном языке, то мы получим:
Как можно заметить в определении отношения принадлежности, как того прямого произведения множеств таких элементов, которые находятся в данном отношении, мы использовали сам же этот символ, поэтому мы получили так называем автореферентное (самоотносимое) определение, т. е. такое определение понятия, в котором есть ссылка (идет апеллирование) на само определяемое понятие. Причин тому много, в данном случае принадлежность в теории множеств является так называем неопределяемым понятием, т. е. его нельзя формально выразить, в рамках самой теории множеств, через её аппарат, поскольку оно само является средством этого аппарата. Также дело обстоит и геометрии Евклида, у него неопределяемыми понятиями являются: точка, прямая, плоскость. Определенность в этих понятиях задавалась аксиомами геометрии Евклида. И да, замечу, что в таких формальных науках, как математика, определением считается формальное выражение (формула) данного понятия, как это было, например, с функцией, хотя и там было использование обозначения функции, при её определении, но углубление в эту тему уведет нас от основной тематики, но если хотите ознакомиться с формализацией в математике и смежными темами, то переходите по ссылке 1 и ссылке 2.
Мощность множества
Мощность множества является центральным вопросом в теории множеств. Именно исследованию этой проблемы посвятил свои работы Кантор при разработке теории множеств.
Что понимается под мощностью множества? Неформально, мощностью множества можно назвать то количество элементов, которые его составляют (количество предметов в мешке (см. рис. 18)), его размер.
В теории множеств, этот вопрос активно обсуждается. Для начала отметим, что мощность множества A обозначается как:
Мы будем использовать первое обозначение. И заметим насчет второго обозначения: card образовано от лат. cardinalis — «главное обстоятельство; основа».
Разговор начнем с того, что определим, какие множества имеют одинаковые мощности, т. е. определим, когда множества равномощны.
Равномощность множеств.
Равномощности можно начать говорить с известно истории о том, как узнать хватит ли стульев, чтобы рассадить всех людей на них? Или равный вопрос: кого в комнате больше стульев или людей? [8] При этом мы не умеем считать от слова совсем. Раз уж мы не умеем считать, то попросим всех людей рассесться по стульям и тогда мы сразу сможем ответить на поставленные вопросы. И в этом подходе проскакивает очень важная идея, с которой мы уже познакомились. Что произошло, когда мы рассаживали людей по стульям?.. Мы сопоставляли каждому человеку определенный стул, на котором он должен был сидеть, а это суть идеи отображения, о котором мы разговаривали. При этом мы понимаем, что давая каждому человеку стул с одной стороны, с другой, мы каждый стул наделяем его пользователем, а это уже биективное или взаимно-однозначное соответствие. И это и есть ответ на вопрос о равномощности множеств: нужно каждому элементу первого множества сопоставить элемент второго множества и обратно. Если у нас получается провести такое биективное отображение, над всеми элементами множеств, то множества равномощны. Формально:
Определение 14.
Т. е. множества A и B — равномощны, если найдется такое отображение f, которое установит (или — проведет) биективное отображение.
Приведем примеры равномощных множеств. Возьмем пример, который ещё Галилео Галилей заметил, когда он рассматривал квадраты натуральных чисел. Галилей заметил, что множество натуральных чисел равномощно множеству их квадратов, как можно это показать? Элементарно, мы уже знаем, что значит равномощность множеств: необходимо найти биективное отображение, для нашего случая оно просто. Пусть n обозначает какое-нибудь натуральное число, тогда его квадрат есть n², вот и вся биекция, т. е. каждому n соответствует единственное n², поскольку определяется однозначно, поэтому можно записать сокращенно:
Можно также рассмотреть целое семейство биекций натуральных прообразов, например такое семейство:
где a — фиксированное число, например вещественное, при данной биекции.
Можно рассмотреть и такое семейство:
здесь также a и b — фиксированные числа, при данной биекции.
Замечу также то, что множество биекцией — это множество отображений или функций, что также называют как функционалом.
Также равномощны множества четных и нечетных чисел. Соответствующая биекция:
Множество натуральных чисел равномощно множеству целых чисел. Предлагаем читателя самому придумать биекцию (она достаточно проста). И да, не забудьте, что у наше множество натуральных чисел начинается с 1, ноль относится к целым, поэтому ваше биекция должна и ему сопоставить натуральное число.
Биекция ℕ → ℤ:
В Интернете, вы можете найти и другие пример равномощных чисел, а мы перейдем к счетность и несчетность множеств.
Счетность множеств.
Под счетность множества подразумевают, что все его элементы можно пронумеровать, т. е. существует биекция между множество натуральных чисел и элементов счетного множества A:
Счетные множества выделяют только среди бесконечных множеств, поскольку любое конечное множество можно пронумеровать методом перебора всех элементов, а это осуществимо за конечное число шагов.
Рассмотрим например счетность множества рациональных чисел, методом, который придумал ещё Кантор.
Мы знаем, что положительное рациональное число задается парой чисел — числителем и знаменателем. Числитель может быть произвольным натуральным числом, а знаменатель произвольным положительным целым числом (т. е. луч от 0 до «бесконечности»). Выпишем все такие числа в виде таблицы, бесконечной вниз и вправо:
В строке с номером i этой таблицы стоят последовательно все числа со знаменателем i, а в столбце с номером j — все числа с числителем j. В этой таблице будут выписаны все рациональные числа, причем некоторые будут повторяться много раз (например, 0/1 = 0/2 = 0/3 = . . . и 1/2 = 2/4 = 3/6 = . . .). Числа из этой таблицы теперь уже легко выписать в последовательность. Например, можно идти по диагоналям (вниз-влево). Сначала выпишем единственное число на первой диагонали (0/1), потом два числа на второй (1/1, 0/2), потом три числа на третьей и так далее: 0/1, 1/1, 0/2, 2/1, 1/2, 0/3, 3/1, 2/2, 1/3, 0/4, .... Другими словами, мы сначала выписываем все числа с суммой числителя и знаменателя 1, потом — с суммой 2, потом 3 и так далее. Конечно, нужно не забыть выбрасывать из последовательности повторяющиеся члены. То есть, когда мы доходим в таблице до очередного числа и видим что равное ему уже было выписано, мы пропускаем текущее число и переходим к следующему. Получится такая последовательность рациональных чисел: 0, 1, 2, 1/2, 3, 1/3, . . . .
Собственно здесь и хотелось закончить рассказ об базовых понятиях теории множеств. А статью закончим обзором аксиом принятых в качестве основной аксиоматики.
Аксиоматика теории множеств. Аксиомы Цермело-Френкеля с аксиомой выбора
Аксиома 1. Аксиома объемности (англ. Axiom of extensionality) [9].
Два набора равны (являются одним и тем же набором), если они имеют одинаковые элементы.
Думаю комментарии излишни.
Аксиома 2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой основания) (англ. Axiom of regularity).
Каждый непустой набор X содержит член Y такой, что X и Y являются непересекающимися множества.
Горизонтальная черта обозначает унарную операцию НЕ. Можно приведенной выше записи привести эквивалентную:
Аксиома 3. Схема аксиом спецификации (англ. Axiom schema of specification).
Сначала разъясним, что такое схема аксиом. Схема аксиом это некоторое обобщение понятия аксиома. Иными словами, схема аксиом рассматривает не конечный набор некоторых переменных, а произвольное их количества даже бесконечное.
Теперь об аксиоме. Аксиома (схема аксиом) спецификации говорит о том, что существует такое подмножество, элементы которого удовлетворяют заданному условию Ф.
Аксиома 4. Аксиома пары (англ. Axiom of pairing).
Существует множество, состоящее из двух элементов.
Аксиома 5. Аксиома объединения (англ. Axiom of union).
Аксиома объединения утверждает, что для любого набора множеств F существует набор A содержащий каждый элемент, который является членом некоторого члена F:
Аксиома 6. Схема аксиом замены (англ. Axiom schema of replacement).
Утверждает, что существует образ функции D = φ(A).
Аксиома 7. Аксиома бесконечности (англ. Axiom of infinity).
Индуктивные множества существуют:
Аксиома 8. Аксиома множества подмножеств (англ. Axiom of power set).
Cуществуют пересечения элементов множества:
Аксиома 9. Аксиома выбора (англ. Axiom of choice).
Аксиома выбора гласит, что для любой коллекции наборов, каждый из которых содержит хотя бы один объект, можно сделать выбор ровно одного объекта из каждого набора, даже если коллекция бесконечна.
Обозначение ⋃X говорит об объединении элементов множества X.
Аксиому выбора демонстрирует рис. 20.
На этом хотелось бы завершить повествование.