Часть 5 (завершающая) из цикла «Разбор задания №17»
В предыдущих частях мы разобрали свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. Теперь закрепим на практике. Решим по одному примеру каждого типа — так, как это встречается в реальном ОГЭ. В конце разберём отдельно задачу с окружностью, вписанной в квадрат.
Тип 1. Параллелограмм (углы)
Задача. В параллелограмме ABCD угол A = 35°. Найдите угол B.
Решение.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
∠A + ∠B = 180° → 35° + ∠B = 180° → ∠B = 145°.
Ответ: 145°.
Тип 2. Параллелограмм (биссектриса)
Задача. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. AB = 6 см, EC = 2 см. Найдите периметр параллелограмма.
Решение.
1. Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник: AB = BE = 6 см.
2. BC = BE + EC = 6 + 2 = 8 см.
3. Противоположные стороны равны: AD = 8 см, CD = 6 см.
4. P = 2*(6 + 8) = 28 см.
Ответ: 28 см.
Тип 3. Прямоугольник (диагонали)
Задача. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. AC = 14 см. Найдите AO.
Решение.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
AO = AC / 2 = 14 / 2 = 7 см.
Ответ: 7 см.
Тип 4. Прямоугольник (сторона и диагональ)
Задача. В прямоугольнике ABCD AB = 5 см, BC = 12 см. Найдите AC.
Решение.
По теореме Пифагора: AC² = AB² + BC² = 25 + 144 = 169 → AC = 13 см.
Ответ: 13 см.
Тип 5. Ромб (диагонали)
Задача. В ромбе ABCD диагонали равны 6 см и 8 см. Найдите сторону ромба.
Решение.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Половинки: 3 см и 4 см. Сторона ромба по теореме Пифагора:
a = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см.
Ответ: 5 см.
Тип 6. Квадрат (диагональ)
Задача. Сторона квадрата равна 10 см. Найдите диагональ.
Решение.
d = a√2 = 10√2 см.
Ответ: 10√2.
Тип 7. Квадрат (площадь через диагональ)
Задача. Диагональ квадрата равна 8√2 см. Найдите площадь квадрата.
Решение.
a = d / √2 = 8√2 / √2 = 8 см.
S = a² = 64 см².
(Или сразу S = d² / 2 = (128) / 2 = 64 см².)
Ответ: 64 см².
Тип 8. Окружность, вписанная в квадрат (самый частый)
Задача. В квадрат вписана окружность радиуса 5 см. Найдите площадь квадрата.
Решение.
Для квадрата радиус вписанной окружности r равен половине стороны: r = a / 2.
Значит, a = 2r = 2 * 5 = 10 см.
Площадь квадрата S = a² = 10² = 100 см².
Ответ: 100 см².
Тип 9. Обратная задача: окружность, описанная вокруг квадрата
Задача. Вокруг квадрата описана окружность радиуса 6√2 см. Найдите площадь квадрата.
Решение.
Радиус описанной окружности R = a / √2.
a = R * √2 = 6√2 * √2 = 6 * 2 = 12 см.
S = a² = 144 см².
Ответ: 144 см².
Тип 10. Выбор верных утверждений (комбинированный)
Задача. Укажите номера верных утверждений.
1. В любом ромбе все стороны равны.
2. В любом прямоугольнике диагонали перпендикулярны.
3. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
4. Квадрат является одновременно прямоугольником и ромбом.
Решение.
1. Верно (определение ромба).
2. Неверно (диагонали перпендикулярны только у ромба и квадрата).
3. Верно (свойство параллелограмма).
4. Верно (квадрат — частный случай обеих фигур).
Ответ: 1, 3, 4.
Лайфхаки для решения всех типов
Лайфхак 1. В любой задаче сначала определите фигуру. От этого зависит набор свойств.
Лайфхак 2. Для квадрата всегда держите в уме: d = a√2, r = a/2, R = a/√2.
Лайфхак 3. Если в квадрат вписана окружность, радиус = половина стороны. Если окружность описана — радиус = половина диагонали.
Лайфхак 4. В ромбе любые половинки диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора работает всегда.
Лайфхак 5. В задании на выбор верных утверждений ищите контрпример. Для параллелограмма — наклонный, для прямоугольника — неквадратный.
Лайфхак 6. Не путайте: равенство диагоналей — у прямоугольника и квадрата. Перпендикулярность диагоналей — у ромба и квадрата.
Что дальше?
Цикл по заданию №17 завершён. Вы разобрали:
· Параллелограмм (углы, стороны, биссектриса).
· Прямоугольник (диагонали, стороны, Пифагор).
· Ромб (диагонали, сторона).
· Квадрат (диагональ, площадь, вписанная и описанная окружность).
Теперь ваша задача — нарешать 20–30 свежих вариантов из открытого банка ФИПИ. Удачи на ОГЭ 2026! Вы справитесь