Часть 3 из цикла «Разбор задания №17: четырёхугольники»
Прямоугольник — один из самых узнаваемых четырёхугольников. В задании №17 он появляется регулярно. В этой статье разберём свойства прямоугольника, его отличия от других фигур и свежие примеры из ОГЭ 2024–2025 годов.
Что такое прямоугольник?
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90°).
Основные свойства прямоугольника (для ОГЭ)
Свойство 1. Все свойства параллелограмма автоматически выполняются:
· противоположные стороны равны;
· противоположные углы равны;
· диагонали точкой пересечения делятся пополам;
· сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Свойство 2 (главное, дополнительное). Диагонали прямоугольника равны.
AC = BD. Это свойство — ключевое. У обычного параллелограмма диагонали не равны.
Свойство 3. Все углы равны 90°.
Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны — это прямоугольник. Или если один угол прямой.
Чем прямоугольник отличается от других фигур?
· От параллелограмма: у прямоугольника все углы 90° и диагонали равны.
· От ромба: стороны не обязаны быть равными, диагонали равны (у ромба — перпендикулярны, но не равны).
· От квадрата: квадрат — частный случай прямоугольника (все стороны равны).
Лайфхак: любой квадрат является прямоугольником, но не любой прямоугольник — квадрат.
Типичные ловушки в задании №17
Ловушка 1. «Любой прямоугольник является квадратом» — неверно. Стороны прямоугольника могут быть разными.
Ловушка 2. «Диагонали прямоугольника перпендикулярны» — неверно. Диагонали прямоугольника равны, но не перпендикулярны (кроме квадрата).
Ловушка 3. «В прямоугольнике противолежащие стороны равны» — верно, но это свойство параллелограмма. В ОГЭ любят смешивать верные и неверные утверждения.
Свежие примеры из ОГЭ 2024–2025
Пример 1 (ОГЭ 2024).
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. AC = 12 см. Найдите AO.
Решение:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
AO = AC / 2 = 12 / 2 = 6 см.
Ответ: 6 см.
Пример 2 (ОГЭ 2024, вариант 5).
В прямоугольнике ABCD угол между диагональю AC и стороной AB равен 35°. Найдите угол между диагоналями.
Решение:
1. В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам. Треугольник AOB — равнобедренный (AO = BO).
2. Угол ABO = углу BAO = 35°.
3. Угол AOB = 180° − (35° + 35°) = 110°.
4. Угол между диагоналями = 110° (или 70° — смежный, обычно берут острый: 70°). В ОГЭ чаще спрашивают острый угол между диагоналями: 180° − 110° = 70°.
Ответ: 70°.
Пример 3 (ОГЭ 2025, досрочный период).
В прямоугольнике ABCD сторона AB = 5 см, BC = 12 см. Найдите диагональ AC.
Решение:
По теореме Пифагора: AC² = AB² + BC² = 25 + 144 = 169 → AC = 13 см.
Ответ: 13 см.
Пример 4 (ОГЭ 2025, основной период).
В прямоугольнике ABCD точка O — пересечение диагоналей. Периметр треугольника AOB равен 18 см, AB = 6 см. Найдите диагональ BD.
Решение:
1. В прямоугольнике AO = BO = половине диагонали. Периметр ΔAOB = AB + AO + BO = 6 + AO + BO = 18 → AO + BO = 12 см.
2. AO = BO, значит 2*AO = 12 → AO = 6 см.
3. Диагональ AC = 2*AO = 12 см. BD = AC = 12 см (диагонали равны).
Ответ: 12 см.
Пример 5 (ОГЭ 2025, резервный день).
В прямоугольнике ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. AB = 8 см, EC = 3 см. Найдите периметр прямоугольника.
Решение:
1. В прямоугольнике углы прямые. Биссектриса угла 90° делит его пополам → ∠BAE = 45°.
2. Треугольник ABE — прямоугольный и равнобедренный (∠BAE = ∠AEB = 45°), значит AB = BE = 8 см.
3. BC = BE + EC = 8 + 3 = 11 см.
4. Периметр = 2(8 + 11) = 219 = 38 см.
Ответ: 38 см
Запомните главное: прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами и равными диагоналями. Решайте свежие варианты, и задание №17 станет для вас простым. Удачи на ОГЭ 2026!