Номер 17 на ОГЭ 2026: трапеция — свойства, виды и разбор заданий
Часть 1 из цикла «Разбор задания №17: четырёхугольники»
Задание №17 в ОГЭ по математике проверяет знание геометрических фигур и их свойств. Часто встречаются утверждения о трапеции. Чтобы не ошибиться, нужно чётко понимать, что такое трапеция, какими свойствами она обладает и чем отличаются её виды. Разберём всё по порядку.
Что такое трапеция?
Трапеция — это четырёхугольник, у которого хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна. Эти параллельные стороны называются основаниями. Две другие стороны — боковыми.
Лайфхак: в некоторых учебниках требуют, чтобы трапеция имела ровно одну пару параллельных сторон. В ОГЭ чаще придерживаются более широкого определения, тогда параллелограмм тоже считается трапецией. Но в большинстве заданий фигурирует именно «классическая» трапеция с одной парой оснований.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция. Одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У такой трапеции два прямых угла.
Равнобедренная трапеция. Боковые стороны равны. У неё есть особые свойства:
· Углы при каждом основании равны.
· Диагонали равны.
· Сумма противоположных углов равна 180° (как и у любого вписанного четырёхугольника — но это отдельная тема).
Основные свойства трапеции
Свойство 1. Средняя линия трапеции.
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме:
m = (a + b) / 2, где a и b — длины оснований.
Лайфхак: если в задаче дана средняя линия и одно основание, второе находится легко.
Свойство 2. Высота трапеции.
Высота — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание (или его продолжение). Площадь трапеции:
S = (a + b) * h / 2 = m * h, где h — высота, m — средняя линия.
Свойство 3. Отрезок, соединяющий середины диагоналей.
Он лежит на средней линии и равен полуразности оснований:
(b — a) / 2 (если b > a).
Свойство 4. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
a + b = c + d, где c и d — боковые стороны.
Свойство 5. Около трапеции можно описать окружность, если трапеция равнобедренная.
Это важный факт: описать окружность можно только вокруг равнобедренной трапеции.
Свойства равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция встречается в задачах чаще всего. Дополнительные свойства:
· Углы при основаниях равны: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.
· Диагонали равны: AC = BD.
· Высота, проведённая из вершины меньшего основания, отсекает на большем основании отрезки, равные полуразности оснований.
· Проекция боковой стороны на большее основание равна (b — a)/2.
Лайфхак: если в трапеции равны диагонали или равны углы при основании — это равнобедренная трапеция. Используйте эти признаки.
Типичные ошибки и ловушки в ОГЭ
Ловушка 1. Утверждение: «Любая трапеция является равнобедренной». Неверно. Равнобедренная — только частный случай.
Ловушка 2. «Если в трапеции диагонали равны, то она является прямоугольной». Неверно. Равенство диагоналей — признак равнобедренной трапеции, а не прямоугольной.
Ловушка 3. «Средняя линия трапеции равна полусумме оснований». Верно, но иногда путают с отрезком, соединяющим середины диагоналей. Запомните: средняя линия = полусумма, отрезок между серединами диагоналей = полуразность.
Ловушка 4. «Около любой трапеции можно описать окружность». Неверно. Только около равнобедренной.
Ловушка 5. «В любую трапецию можно вписать окружность». Неверно. Нужно, чтобы сумма оснований равнялась сумме боковых сторон.
Примеры заданий из ОГЭ
Пример 1 (базовое свойство).
Условие: В трапеции основания равны 8 см и 12 см. Найдите среднюю линию.
Решение: m = (8 + 12) / 2 = 20 / 2 = 10 см.
Ответ: 10 см.
Пример 2 (нахождение основания).
Условие: Средняя линия трапеции равна 15 см, одно из оснований — 10 см. Найдите второе основание.
Решение: m = (a + b)/2 → 15 = (10 + b)/2 → 30 = 10 + b → b = 20 см.
Ответ: 20 см.
Пример 3 (равнобедренная трапеция, углы).
Условие: В равнобедренной трапеции один из углов при основании равен 65°. Найдите больший угол трапеции.
Решение:
1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
2. Углы при одном основании: 65° и 65°. Углы при другом основании равны между собой, и каждый равен 180° − 65° = 115° (свойство односторонних углов при параллельных прямых).
3. Больший угол = 115°.
Ответ: 115°.
Пример 4 (трапеция и окружность, вписанная).
Условие: В трапецию можно вписать окружность. Боковые стороны равны 5 см и 7 см. Основания относятся как 1:3. Найдите периметр трапеции.
Решение:
1. Условие вписанной окружности: сумма оснований = сумме боковых сторон. a + b = 5 + 7 = 12.
2. Основания относятся как 1:3. Пусть a = x, b = 3x. Тогда x + 3x = 12 → 4x = 12 → x = 3.
3. Основания: a = 3 см, b = 9 см.
4. Периметр = a + b + 5 + 7 = 3 + 9 + 12 = 24 см.
Ответ: 24 см.
Пример 5 (описанная окружность).
Условие: Около трапеции описана окружность. Один из углов трапеции равен 70°. Найдите остальные углы.
Решение:
1. Около трапеции можно описать окружность только в том случае, если она равнобедренная.
2. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
3. Если один угол = 70°, то и второй угол при том же основании = 70°.
4. Углы при другом основании = 180° − 70° = 110°.
5. Углы трапеции: 70°, 70°, 110°, 110°.
Ответ: 70°, 70°, 110°, 110°.
Пример 6 (комбинированная задача из реального ОГЭ).
Условие: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Найдите угол BAC, если угол ABC = 110°.
Решение:
1. AC — биссектриса угла BAD. Значит, ∠BAC = ∠CAD.
2. AD || BC, AC — секущая. ∠CAD = ∠BCA (накрест лежащие). Поэтому ∠BAC = ∠BCA.
3. Треугольник ABC: ∠BAC = ∠BCA, значит, треугольник равнобедренный, AB = BC.
4. Сумма углов треугольника: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°. Обозначим ∠BAC = x. Тогда 2x + 110° = 180° → 2x = 70° → x = 35°.
Ответ: 35°.
Лайфхаки для решения
Лайфхак 1. Если в трапеции провели диагональ или биссектрису — ищите равные углы (накрест лежащие, соответственные). Часто это ключ к решению.
Лайфхак 2. Для равнобедренной трапеции всегда проверяйте: опустили высоты из вершин меньшего основания — получили два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.
Лайфхак 3. Запомните два условия:
· Описать окружность = равнобедренная трапеция.
· Вписать окружность = сумма оснований = сумме боковых сторон.
Лайфхак 4. Средняя линия встречается в каждой второй задаче. Держите формулу наготове.
Лайфхак 5. В задании №17 часто дают несколько утверждений и просят выбрать верные. Перепроверяйте каждое на контрпримере. Например, для утверждения «диагонали трапеции равны» вспомните равнобедренную трапецию (верно) и прямоугольную (неверно). Значит, утверждение неверное, потому что не для любой трапеции.
Что дальше?
В следующей части разбора задания №17 мы разберём:
· Параллелограмм и его виды (прямоугольник, ромб, квадрат): свойства, признаки, ловушки.
· Типичные задачи на доказательство из второй части ОГЭ.
А пока — потренируйтесь на 10–15 задачах про трапецию из открытого банка ФИПИ. Запомните: средняя линия, условие вписанной и описанной окружности, свойства равнобедренной трапеции — это 90% всех заданий.
Удачи на ОГЭ 2026! Следите за продолжением.