Рассмотрим решение задачи, составленной для статьи «Свойство касательных к окружности вам в помощь!».
1. В квадрате со стороной 1 провели диагональ, получили два прямоугольных треугольника. В один из них вписали окружность, в другом провели биссектрису прямого угла, получили два прямоугольных треугольника. В один из них вписали окружность, в другом провели биссектрису прямого угла, получили два прямоугольных треугольника и т. д. Найдите сумму длин бесконечного числа радиусов полученных окружностей.
Решение. Сначала найдём радиус первой построенной окружности. Пусть M и N – точки касания этой окружности со сторонами AB и BC соответственно, O – центр квадрата, первая окружность касается диагонали квадрата в этой точке.
По свойству касательных к окружности, проведённых их одной точки,
BM = MN = r, где r – радиус первой окружности.
Тогда по тому же свойству AM = AO = CN = CO = 1 – r.
Диагональ квадрата равна 2 – 2r, а её длина известна, составим уравнение:
У задачи 1 есть интересное решение, не связанное с темой заметки. Для полноты картины разместим его здесь.
В прямоугольном треугольнике радиус r вписанной окружности выражается через катеты a и b и гипотенузу c по формуле r = 0,5(a + b – c).
Сумма всех радиусов равна S = 0,5(AB + BC – AC + OC + OD – DC + …).
В этой сумме слагаемое AC, взятое со знаком «–», состоит из катетов треугольников, входящих в сумму со знаком «+». Все упомянутые слагаемые дают в сумме 0.
Слагаемое CD, взятое со знаком «–», состоит из катетов треугольников, входящих в сумму со знаком «+» и составляющих в сумме отрезок AD, равный CD. Все упомянутые слагаемые дают в сумме 0.
Поэтому сумма радиусов равна S = 0,5(AB + BC) = 0,5(1 + 1) = 1.
Признаемся честно, получился неожиданный результат. Складывали бесконечное число иррациональных чисел, а результат равен 1.