Часть 4 из цикла «Разбор номера 16 ОГЭ по математике 2026»
В первых трёх частях мы разобрали теорию: центральные и вписанные углы, углы между хордами и касательными, свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Теперь пришло время применить всё это на практике. Разберём реальные прототипы заданий, которые встречались в сборниках ФИПИ 2025 года и, скорее всего, останутся в 2026-м. Каждую задачу разложим по шагам.
Задача 1. Центральные и вписанные углы (база)
Условие: На окружности отмечены точки A, B, C, D. Дуга AB = 80°, дуга BC = 120°, дуга CD = 100°. Найдите угол AOD (O — центр окружности).
Решение:
1. Вся окружность = 360°. Найдём дугу DA: 360° − (80° + 120° + 100°) = 360° − 300° = 60°.
2. Угол AOD — центральный. Он опирается на дугу AD (ту, что не содержит B и C, то есть дугу DA = 60°).
3. Центральный угол равен дуге: ∠AOD = 60°.
Ответ: 60°.
Лайфхак: всегда проверяйте, на какую именно дугу опирается центральный угол. Их две (малая и большая). По умолчанию берут меньшую, если не сказано иное.
Задача 2. Вписанный угол и диаметр
Условие: Треугольник ABC вписан в окружность. AC — диаметр. Угол ABC = 40°. Найдите угол BAC.
Решение:
1. AC — диаметр, значит, дуга AC = 180°.
2. Угол ABC — вписанный, опирается на дугу AC. Но он уже дан. Он не нужен для нахождения угла BAC.
3. Угол BAC опирается на дугу BC. Дугу BC пока не знаем.
4. Вписанный угол ABC = 40° опирается на дугу AC. Дуга AC = 2 * 40° = 80°. Стоп, это противоречит пункту 1 (180°≠80°). Ошибка! Угол ABC опирается не на дугу AC, а на дугу AC, которая НЕ содержит точку B. Если AC — диаметр, то окружность делится на две дуги по 180°. Точка B лежит на одной из них. Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, противоположную B. Эта дуга равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°/2 = 90°. Но в условии дано 40°. Значит, данные противоречивы? Нет, это значит, что точка B лежит не там, где мы думали.
Давайте заново. В треугольнике ABC, вписанном в окружность, AC — диаметр. По свойству, угол B, опирающийся на диаметр, равен 90°. Но в условии ∠ABC = 40°. Так не бывает. Скорее всего, в условии опечатка или угол дан другой. Возьмём корректную формулировку: AC — диаметр, найти угол ABC (он будет 90°). А если дан угол BAC = 40°, то угол ABC = 90° − 40° = 50°.
Вывод: если видите диаметр — сразу ищите прямой угол. Это самый сильный лайфхак.
Задача 3. Угол между хордами
Условие (из сборника ФИПИ): Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Дуга AC = 70°, дуга BD = 30°. Найдите угол AEC.
Решение:
1. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами.
2. Угол AEC опирается на дуги AC и BD.
3. ∠AEC = (дуга AC + дуга BD) / 2 = (70° + 30°) / 2 = 100° / 2 = 50°.
Ответ: 50°.
Лайфхак: не перепутайте дуги. Угол AEC «смотрит» на дуги AC и BD, а не на AB и CD.
Задача 4. Касательная и хорда
Условие: К окружности проведена касательная в точке A. Из точки A проведена хорда AB. Дуга AB (меньшая) = 130°. Найдите угол между касательной и хордой AB.
Решение:
1. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними (той, которую отсекает хорда).
2. ∠(касательная, AB) = дуга AB / 2 = 130° / 2 = 65°.
Ответ: 65°.
Лайфхак: если бы спросили угол с другой стороны (тупой), он был бы 180° − 65° = 115°. На ОГЭ обычно просят острый.
Задача 5. Две касательные из одной точки
Условие: Из точки M к окружности проведены касательные MA и MB (A и B — точки касания). Угол AMB = 60°. Найдите меньшую дугу AB.
Решение:
1. Угол между двумя касательными = 180° − меньшая дуга. Обозначим меньшую дугу AB = x.
2. 60° = 180° − x → x = 180° − 60° = 120°.
3. Меньшая дуга AB = 120°. Да, такое бывает, если угол между касательными острый. Большая дуга будет 360° − 120° = 240°.
Ответ: 120°.
Задача 6. Вписанный четырёхугольник
Условие: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол A = 85°, угол B = 95°. Найдите угол D.
Решение:
1. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов = 180°.
2. Противоположные пары: A и C, B и D.
3. ∠B + ∠D = 180° → 95° + ∠D = 180° → ∠D = 85°.
4. Проверка: ∠A + ∠C = 180° → 85° + ∠C = 180° → ∠C = 95°. Всё логично.
Ответ: 85°.
Задача 7. Описанный четырёхугольник
Условие: Четырёхугольник ABCD описан около окружности. AB = 6 см, BC = 9 см, CD = 11 см. Найдите AD.
Решение:
1. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
2. 6 + 11 = 9 + AD → 17 = 9 + AD → AD = 8 см.
Ответ: 8 см.
Задача 8. Комбинированная (из реального КИМа 2025)
Условие: В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Угол ABD = 30°, угол ADB = 40°. Найдите угол BCD.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABD. В нём угол ABD = 30°, угол ADB = 40°. Тогда угол BAD = 180° − (30° + 40°) = 110°.
2. Четырёхугольник ABCD вписанный. Противоположные углы: угол BAD и угол BCD. Их сумма = 180°.
3. угол BCD = 180° − угол BAD = 180° − 110° = 70°.
Ответ: 70°.
Лайфхак: часто в комбинированных задачах нужно сначала найти угол в треугольнике, а потом применить свойство вписанного четырёхугольника.
Задача 9. С касательной и хордой (повышенный уровень)
Условие: Из точки A вне окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D (C между A и D). Угол ABD = 50°. Найдите угол BCD.
Решение:
1. Угол ABD образован касательной AB и хордой BD. Он равен половине дуги BD (той, что не содержит B). Обозначим дугу BD = x. Тогда 50° = x/2 → x = 100°.
2. Угол BCD — вписанный, опирается на ту же дугу BD (не содержащую C). Значит, ∠BCD = x/2 = 100°/2 = 50°.
3. Получили, что ∠BCD = ∠ABD = 50°.
Ответ: 50°.
Задача 10. Трапеция, вписанная в окружность
Условие: В окружность вписана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Угол ABC = 120°. Найдите угол BAD.
Решение:
1. Вписанная трапеция всегда равнобедренная. Значит, углы при каждом основании равны: ∠BAD = ∠CDA, ∠ABC = ∠BCD = 120°.
2. Сумма углов при боковой стороне (внутренних односторонних) = 180°. ∠BAD + ∠ABC = 180° → ∠BAD + 120° = 180° → ∠BAD = 60°.
3. Проверка: ∠CDA = 60°, ∠BCD = 120°, ∠BAD + ∠BCD = 60° + 120° = 180° — свойство вписанного четырёхугольника выполняется.
Ответ: 60°.
Основные выводы по части 4
Задания №16 из сборников ФИПИ 2025–2026 проверяют умение применять всего несколько правил:
· Вписанный угол = половина дуги.
· Центральный угол = дуга.
· Угол между хордами = полусумма двух дуг.
· Угол между касательной и хордой = половина дуги.
· Угол между двумя касательными = 180° − меньшая дуга.
· Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов = 180°.
· Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.
· Угол, опирающийся на диаметр = 90°.
Лайфхак: перед решением нарисуйте чертёж и подпишите все известные дуги и углы. Часто ответ находится за 2–3 шага, если не паниковать.
Нарешайте 20–30 таких задач по сборнику ФИПИ — и задание №16 перестанет быть проблемой. Удачи на ОГЭ 2026!
Цикл разбора номера 16 завершён. Успехов на экзамене!