В первой части мы разобрали центральные и вписанные углы. Но в задании №16 часто встречаются более хитрые конструкции: две хорды пересекаются внутри окружности, или к окружности проведена касательная, а иногда и две касательные пересекаются за её пределами. Формулы там другие, но они легко запоминаются.
Разберём все случаи по порядку.
Угол между двумя пересекающимися хордами
Представьте: внутри окружности пересекаются две хорды. Они образуют вертикальные углы. Чему равен, например, угол между хордами?
Важное свойство: Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер дуг, которые заключены между его сторонами (точнее — полусумме дуг, на которые этот угол опирается).
Формулировка проще: Если хорды AB и CD пересекаются в точке E, то угол AEC (или любой из четырёх вертикальных) вычисляется так:
∠AEC = (дуга AC + дуга BD) / 2
Где дуга AC — это дуга между концами A и C, не содержащая точку пересечения, и дуга BD — аналогично.
Лайфхак: угол «смотрит» на две дуги, которые находятся напротив него. Сложил их, поделил пополам — получил угол.
Пример 1. Пересекающиеся хорды
Условие: Две хорды пересекаются внутри окружности. Одна дуга между концами одной хорды равна 80°, другая дуга (между концами второй хорды) равна 40°. Найдите острый угол между хордами.
Решение:
Угол между хордами = (80° + 40°) / 2 = 120° / 2 = 60°.
Ответ: 60°.
Пример 2. Найти дугу по углу
Условие: Хорды MN и PK пересекаются в точке T. Угол MTP = 70°. Дуга MP = 50°. Найдите дугу NK.
Решение:
Угол MTP = (дуга MP + дуга NK) / 2.
70° = (50° + дуга NK) / 2.
Умножаем на 2: 140° = 50° + дуга NK.
Дуга NK = 140° — 50° = 90°.
Ответ: 90°.
Угол между касательной и хордой
Касательная — прямая, которая касается окружности ровно в одной точке. Если из точки касания провести хорду, то получится угол между касательной и этой хордой.
Важное свойство: Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла (то есть дуги, которая лежит между концами хорды, не считая точку касания).
Формула: ∠(касательная, хорда) = 1/2 * дуга (между концом хорды и точкой касания)
Это свойство очень похоже на свойство вписанного угла, только вершина — на касательной. Многие путают, но разница есть.
Лайфхак: представьте, что касательная — это «почти хорда», которая стала прямой. Угол считается так же, как вписанный, но вершина лежит не на окружности, а на касательной.
Пример 3. Касательная и хорда
Условие: К окружности проведена касательная в точке A. Из точки A проведена хорда AB. Дуга AB (меньшая) равна 100°. Найдите угол между касательной и хордой AB.
Решение:
Угол между касательной и хордой = половина дуги AB = 100° / 2 = 50°.
Ответ: 50°.
Пример 4. Обратная задача
Условие: Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен 35°. Найдите дугу, заключённую между концами хорды.
Решение:
Угол = половина дуги → дуга = 2 * угол = 2 * 35° = 70°.
Ответ: 70°.
Угол между двумя касательными
Если из одной точки вне окружности провести две касательные к окружности, они образуют угол. Точки касания делят окружность на две дуги.
Важное свойство: Угол между двумя касательными равен полуразности большей и меньшей дуг, заключённых между точками касания.
Или, что то же самое: угол между касательными = 180° минус центральный угол, соответствующий меньшей дуге.
Формула: ∠(касательная, касательная) = (большая дуга — меньшая дуга) / 2.
Так как сумма дуг = 360°, то: угол = ( (360° — x) — x ) / 2 = (360° — 2x) / 2 = 180° — x, где x — меньшая дуга.
Лайфхак: нашли меньшую дугу между точками касания — вычли её из 180° — получили искомый угол.
Пример 5. Две касательные
Условие: Из точки M к окружности проведены касательные MA и MB. Меньшая дуга AB равна 80°. Найдите угол AMB.
Решение:
Угол между касательными = 180° — меньшая дуга = 180° — 80° = 100°.
Ответ: 100°.
Пример 6. Найти дугу по углу
Условие: Угол между двумя касательными равен 40°. Найдите меньшую дугу между точками касания.
Решение:
40° = 180° — x → x = 180° — 40° = 140°.
Но это не меньшая дуга, а большая? Давайте проверим.
Если угол между касательными = 40°, то меньшая дуга = 180° — 40° = 140°? Так не бывает, дуга не может быть больше 180° для меньшей. Мы ошиблись.
Правильно: угол между касательными = 180° — меньшая дуга. Значит, меньшая дуга = 180° — угол = 180° — 40° = 140°. Это больше 90°, но меньше 180° — нормально. Просто «меньшая» дуга в данном случае всё равно 140°, а большая = 360° — 140° = 220°. Да, такое бывает, если угол между касательными острый. Всё верно.
Ответ: 140°.
Сравнительная таблица свойств
Конструкция Формула
Центральный угол = дуге
Вписанный угол = половине дуги
Угол между хордами (внутри) = (дуга1 + дуга2) / 2
Угол между касательной и хордой = половине дуги
Угол между двумя касательными = 180° — меньшая дуга (или полуразность дуг)
Комбинированная задача из ОГЭ
Условие: Из точки A вне окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D (C ближе к A). Дуга BC = 70°, дуга BD = 180° (то есть BD — диаметр). Найдите угол между касательной AB и секущей AD (то есть угол BAD).
Решение:
1. Угол между касательной AB и хордой BC равен половине дуги BC: ∠ABC = 70° / 2 = 35°.
2. BD — диаметр, значит, угол BCD = 90° (вписанный, опирается на диаметр).
3. Треугольник ABC: внешний угол? Можно проще: искомый угол BAD = ∠BAC. В треугольнике ABC известен ∠ABC = 35°, ∠BCA = 90°. Тогда ∠BAC = 180° — 90° — 35° = 55°.
Ответ: 55°.
Что дальше?
В следующей (третьей) части разберём:
· Комбинированные задачи с касательными, хордами и центральными углами в одном чертеже.
· Задачи на нахождение радиусов и длин отрезков через свойства окружности.
· Типичные ловушки и самые сложные варианты из реальных ОГЭ.
А пока — запомните: хорды пересекаются — полусумма дуг, касательная и хорда — половина дуги, две касательные — 180° минус меньшая дуга. Нарешайте 10–15 задач на каждое правило, и задание №16 станет для вас простым.
Удачи на ОГЭ 2026! Следите за третьей частью разбора.