Продолжаю публикацию, со своими примечаниями, книги И.Т. Беломорского "Жизнь и математика .Илариона Попугайского". Л., 1989
Предыдущая Часть 2. Предки, семья, детство.
3. Задача про Василия и Умную Машу.
В одной деревне живут Василий и Маша (1,2), они любят друг друга. Отец Маши, дядька Никанор, не разрешает им встречаться. Сам Никанор иногда ходит в гости к одинокой женщине, тёте Наташе.
Из-под крыши клети двора Василия видно окошко светёлки Маши. Умная Маша (3) придумала световые сигналы, которые они с Васей подают друг другу с помощью свечки (4).
Вероятность того, что дядька Никанор пойдет вечером к тёте Наташе, составляет 0,5.. Если он уходит, в условленное время Маша передает Василию сигнал «приходи», если остается дома – сигнал «не приходи».
Вероятность того, что Василий будет иметь возможность пойти на свидание, составляет 0.8. Если Василий получит сигнал «приходи» и он может прийти, то подает сигнал «приду», если не может прийти, то сигнал «не приду». Если он получает сигнал «не приходи», то передаёт сигнал «не приду». Получив сигнал «приду» в ответ на переданный ей «приходи», Маша идет на сеновал, где ждет Васю.
Рассчитай, какова вероятность того, что у Василия и Маши сегодня ночью состоится свидание, если вероятность того, что вместо одного сигнала будет ошибочно опознан другой, составляет 0,1 ?
Если Василий имеет возможность пойти на свидание, но получил от Маши сигнал «не приходи» то он начинает рассуждать, не стоит ли ему сходить к тёте Наташе. Ему удается убедить себя с вероятностью 0,5 (5), что стоит, т.к. дядька Никанор сегодня не придет, а Наташа Машке не расскажет.
Рассчитай, с какой вероятностью Василий и дядька Никанор встретятся у тёти Наташи ?
Примечания автора блога к задаче про Василия и Машу.
1) Решение примерно такой задачи, про телеграфиста Петю и телеграфистку Машу, только без участия дяди и тёти, показал нам Б.Я.Фрезинский на одной из первых лекции по теории вероятности, чтобы пробудить интерес к предмету. На самом деле задача Илариона не очень сложная, но в ней много всяких деталей, которые нельзя упускать из виду.
2) Вообще говоря, Вася и Маша - герои многих математических задач, в том числе и по теории вероятностей.
3) Предполагаю, что назвать Машу из задачи – «Умной Машей» - дополнение от И.Т. Беломорского. Умная Маша - героиня комиксов, которые печатались в детском журнале «Чиж», издававшемся в Ленинграде до войны. После войны рассказы с картинками издавались отдельной книжкой. Чисто Ленинградский речевой оборот «как умная Маша» я слышал от нескольких человек, которые были меня лет на 20 постарше.
4) Илариону пришлось вводить деревенский антураж и подачу сигналов свечкой, т.к. в те годы женщины еще не могли работать телеграфистками (пока только телефонными барышнями). Или, может быть, он основывался на каком-нибудь личном опыте ?
5) Соответственно, с такой же вероятностью 0,5 Василий говорит себе - ну его на х.., пойду лучше чаю попью, да спать лягу.
4. Гимназические годы
В возрасте 10 лет (1901 г.) Иларион поступил в 4-ю Московскую классическую гимназию, находившуюся на ул. Покровка, и закончил ее в 1909 г. В ней преподавались два древних языка, латынь и греческий, что давало возможность после ее окончания поступать в Московский университет.
В 4 классе гимназист Попугайский серьезно увлекся математикой, вторым любимым предметом была логика. Книгой, перевернувшей всю его жизнь, стал труд В.Я. Буняковского «Основания математической теории вероятностей» (1).
Иларион не входил ни в одно из многих появившихся тогда тайных гимназических обществ, политика его не интересовала. Тем больше времени оставалось у него на занятия математикой.
Часто он сам составлял задачи и решал их - для примера выше приведена «задача про Василия и Умную Машу», а ниже - «Задача про кустаря-одиночку и водку». Его способности нашли и практическое применение. Для начала он рассчитал для магазина отца оптимальное количество продавцов за прилавком и кассиров, в зависимости от дня недели и времени, благодаря чему количество проданных товаров и прибыль значительно возросли.
По рекомендациям отца Иларион стал выполнять подобные работы для купцов и промышленников, например, расчет количество работников складов, (грузчиков, возчиков, учетчиков), времени их работы, вознаграждения за труд и штрафов, и т.п. с целью уменьшения времени погрузки-разгрузки, снижения затрат и потерь.
Часть вырученных сумм шла на карманные расходы, остальная откладывалась на обучение в университете на специально открытый для этого счет. И все же один раз эта договоренность с отцом была нарушена, более того, об этой работе Илларион родственникам не рассказывал. Мне стало известно о ней из переданных мне нескольких листов с его записями, надо сказать, довольно деликатного характера. Но я скажу несколько слов, чтобы показать многогранность таланта и личности Илариона.
Для одного из домов терпимости Иларион выполнил расчеты, позволившие одновременно повысить цены и удовлетворенность клиентов, увеличившие как заработки проституток, так и прибыль владельцев борделя. Добавлю также, что оплата труда юного математика проходила исключительно в натуральной форме. Получивший теоретические знания о взаимоотношениях полов из книг, Иларион, как и пристало настоящему ученому, закрепил их на практике.
Надо особо отметить, что для выполнения подобных работ необходимо использовать не только известный тогда аппарат матстатистики и теории вероятности, но и методы теории очередей (3), которая в то время не была еще создана. Могу предположить, что И.Попугайский, будучи еще гимназистом, начал разработку этих методов, и, если бы не трагическая гибель, его имя стояло бы рядом с А.К.Эрлангом (4), А. Я. Хинчиным и А.Н.Колмогоровым (5).
Испытания зрелости Иларион прошел успешно, получив по Логике, Латинскому языку, Физике и математической географии, а также немецкому и французскому языкам оценку «отлично», а по другим предметам «очень хорошо». Согласно правилам испытаний их целью было «удостоверить в достаточном умственном развитии для дальнейшего научного образования», т.е. основной целью учебы в гимназии была подготовка для поступления в университеты, а так же высшие гражданские и военные учебные заведения.
Примечания автора блога к главе 4 "Гимназические годы"
1) Первое издание - Имп. Акад. наук, СПб, 1846. Труд сделал В.Я. Буняковского всемирно известным. Заключал в себя историю развития теории вероятностей; в нём впервые сведены результаты известных математиков, начиная с Паскаля и Ферма, даны объяснения относительно самых трудных вопросов, указано много практических приложений, например, о средней продолжительности жизни людей различных возрастов, определению достоверности свидетельств и преданий, вопросам страхования, определению погрешностей при наблюдениях, к вопросам судебного дела, к вычислению вероятностных потерь в войске и т. д. Форма «Оснований математической теории вероятностей» отличалась такой удобопонятностью и изяществом, что известный математик Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauß, 1777-1855), находясь уже в преклонном возрасте, выучился русскому языку по этому сочинению.
2) Заметно, что И.Т. Беломорский описывает реалии начала 20 века современным ему языком 80-х годов, стараясь передать, насколько это возможно, дух эпохи.
3) Теория массового обслуживания, или теория очередей — раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей. Источник: Математический энциклопедический словарь. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. Добавлю, что методы теории массового обслуживания применимы как для расчета сетей связи, так и, например, количества касс в супермаркете.
4) Агнер Эрланг (Agner Krarup Erlang), 1878-1929. Датский математик и инженер, основатель теории телетрафика и теории массового обслуживания. Первую свою работу: «Теория вероятностей и телефонные разговоры» (The Theory of Probabilities and Telephone Conversations) он опубликовал в 1909 году. Имя Эрланга носят: единица измерения трафика в телекоммуникациях, формулы расчета пропускной способности, а так же язык программирования. Эрланг замечателен тем, что он не был чистым математиком, а, скорей инженером-практиком, всю жизнь проработавшим в Датской телефонной компании (т.е. моим коллегой, инженером - связистом).
5) Алекса́ндр Я́ковлевич Хи́нчин (1894-1859) один из наиболее значимых учёных в советской школе теории вероятностей. Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903-1987), один из крупнейших математиков XX века. Своей работой «Основные понятия теории вероятностей», первое издание которой опубликовано в 1933 году на немецком языке (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung), А. Н. Колмогоров заложил фундамент современной теории вероятностей,
5. Задача про кустаря – одиночку Никанора и водку.
Одинокий кустарь Никанор (2) проживает в своем доме, в нем же имеет мастерскую. За 1 час работы он изготавливает одно изделие. Он работает 6 дней в неделю, в день он может уделять работе 10 часов.
Готовые изделия он сдает купцу, от которого получает сырье для работы - за одно готовое изделие сырье для трёх. Купец же дает ему в обмен на 40 изделий необходимые на месяц продукты, одежду и прочие нужные для жизни товары. За остальные изделия купец каждое утро расплачивается деньгами – 40 копеек за штуку. Промысловый и прочие налоги Никанор оплачивает из сбережений, которые он делает в течении года.
Утром получив деньги, на половину из них Никанор покупает водку, остальные откладывает и прячет в сундук. После окончания работы эту водку он выпивает. На следующий день, из-за состояния организма, продолжительность рабочего дня сокращается, сокращение зависит от количества выпитой накануне водки.
Рассчитать, каким числом нужно ограничить количество рабочих часов в день для 1) Максимизации сбережений. 2) Максимизации объема выпитой водки
При следующих условиях:
Никанор покупает водку чарками, стоимостью по 10 копеек каждая. За вечер. Никанор может выпить, самое большее, 8 чарок (3), после чего идет спать. В воскресенье Никанор водку не употребляет.
Вероятность сокращения следующего рабочего дня на количество часов подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием, равным количеству выпитых накануне чарок водки, и среднеквадратичным отклонением 1 час.
Примечания к задаче про кустаря – одиночку Никанора и водку.
1) Эта задача по оптимизации, для решения которой применяются, в том числе, методы теории вероятности. Во время учебы в заочной аспирантуре я интересовался методами принятия технических решений, предполагая использовать их в диссертации. Сейчас я даже не пытался браться за эту интересную, но сложную для меня задачу, хотя очевидно, что оптимальные решения (или, возможно, области решений) для каждой из поставленных целей имеются. Меня впечатляют условия дореволюционных математических задач – все они носят практический смысл и основаны на реальных примерах.
2) В задаче про Васю и Умную Машу тоже упоминается некий дядька Никанор, но из условий понятно, что это два разных Никанора.
3) В русской системе жидких мер (жидкие меры) 1 чарка = 1⁄100 ведра ≈ 122,99 мл. Ведро казенного спирта в 40 градусов (то есть, водки) стоило 8 руб.40. Т.е. Никанор, при удачном (или неудачном, как посмотреть) стечении обстоятельств за вечер мог употребить почти литр водки.
Часть 4. СПб Университет. Открытие неизвестного распределения вероятностей