Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу:
∂²u/∂t² = a²∂²u/∂x², 0 < x < l, t > 0
u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ l
∂u/∂t(x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l
Здесь:
- u(x, t) - искомая функция, описывающая колебания струны;
- a - постоянная, характеризующая скорость распространения волн;
- φ(x) и ψ(x) - заданные начальные условия, описывающие начальное отклонение и скорость струны соответственно.
Физический смысл:Задача описывает колебания бесконечно тонкой однородной струны, закрепленной на концах.
Метод решения - метод разделения переменных
Предположим, что решение можно представить в виде произведения двух функций, зависящих от разных переменных:
u(x, t) = X(x)T(t)
Подставляя это выражение в уравнение и разделяя переменные, получаем:
T''(t) / (a²T(t)) = X''(x) / X(x) = -λ
Здесь λ - постоянная разделения.
Получаем две обыкновенные дифференциальные уравнения:
X''(x) + λX(x) = 0
T''(t) + a²λT(t) = 0
Решение уравнений
Для уравнения X(x):Решениями этого уравнения будут:
- При λ = 0: X(x) = C₁x + C₂.
- При λ > 0: X(x) = C₃cos(√λx) + C₄sin(√λx).
- При λ < 0: X(x) = C₅e^(√-λx) + C₆e^(-√-λx).
Учитывая граничные условия u(0, t) = u(l, t) = 0, получаем, что только при λ > 0 и λ = (nπ/l)² получаем нетривиальные решения:
X_n(x) = sin(nπx/l)
Для уравнения T(t):Решение имеет вид:
T_n(t) = A_ncos(anπt/l) + B_nsin(anπt/l)
Общее решение
Общее решение задачи имеет вид:
u(x, t) = Σ[A_ncos(anπt/l) + B_nsin(anπt/l)]sin(nπx/l)
Определение коэффициентов A_n и B_n
Используя начальные условия, получаем:
φ(x) = ΣA_nsin(nπx/l)
ψ(x) = Σ(anπ/l)B_nsin(nπx/l)
Это разложения функций φ(x) и ψ(x) в ряды Фурье по синусам на отрезке [0, l]. Коэффициенты A_n и B_n находятся по формулам:
A_n = (2/l)∫[0,l]φ(x)sin(nπx/l)dx
B_n = (2/(anπ))∫[0,l]ψ(x)sin(nπx/l)dx
Таким образом, решение первой смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке найдено.
Замечания
- Решение представляет собой суперпозицию гармонических колебаний с различными частотами.
- Коэффициенты Фурье A_n и B_n определяют амплитуды и фазы этих колебаний.
- Метод разделения переменных является мощным инструментом для решения многих задач математической физики.