Допустим был проведен диагностический экзамен. Для определенности будем считать, что это был экзамен по математике, так было задание на сложение дробей. С последующим сокращением результат, если это возможно. И один из учеников указал такой результат:
Очевидно, ответ не верен. Означает ли это что ученику следует повторить сложение дробей? Нет. Для того, чтобы разобраться – почему так – нужно сначала расписать правильную последовательность (алгоритм) выполнения сложения дробей. Итак:
Как не трудно понять, если ученик ошибся на первом шаге, то он автоматически проваливает оставшиеся шаги и все задание в целом. Естественно было бы сосредоточится именно на том шаге, на том действии – которое не дается ученику.
Как понять – какое действие не дается ученику? Сформировать проверочные задания для каждого этапа. Например, для проверки первого этапа нам нужно убедиться в способности ученика приводить пару дробей к общему знаменателю. Сформируем пару дробей и убедимся, что решение ученика – тройка значений b', c’ и e - удовлетворяет приведенным ниже условиям:
Старый советский учитель сразу же увидит расхождение с рекомендациями из советского, да и российского учебника. В этих учебниках e (общий знаменатель) должен быть НОК (наименьшим общим кратным b и d). Но это лишь один из возможных общих знаменателей.
Если ученик справился с нахождением общего знаменателя – прекрасно. Значит он или не умеет складывать дроби с одинаковым знаменателей – маловероятно, но бывает всякое. Или же он не умеет сокращать. В любом случае формируется задания или на сложение, или на сокращения. До тех пор, пока не найдем проблемное место.
Вариативность алгоритмов
Как я уже упоминал – методов получить общий знаменатель для пары дробей – множество, перечислю лишь три:
- Простое перемножение знаменателей
- Через разложение знаменателей на простые множители.
- Перемножение знаменателей деленое на НОД от знаменателей
Почему это важно? Потому что поиск проблемного места ведется согласно стратегии «разделяй и властвуй». А для того, чтобы разделить используемый алгоритм на части – нужно знать какой именно алгоритм мы будем делить.
Что можно сделать в этом случае? Необходимо или узнать конкретный алгоритм, который хотел использовать ученик или попытаться форсировано протестировать алгоритм, используемый по умолчанию.
Вложенность анализа
Допустим выбран метод нахождения общего знаменателя через разложение на простые множители. Для тех, кто уже подзабыл школьный курс – напомню общую формулу.
Вычисление j и k симметрично, поэтому описываю только j. Очевидно, что e = b * j, таким образом в j нет множителей, которые есть в b – то есть в j отбираются те простые множители, которые есть в d, но нет в b. Если простой множитель есть в обоих знаменателях и его степень больше в d – то отбирает разность степеней. Иначе ничего не отбираем.
Для вычисления e, после разложения на множители отбирается наибольшее число (степень) множителя, если множитель присутствует только в одном знаменателе – то он и отбирается.
Общая схема отображена выше. Важно, что эта схема является фрагментом предыдущей схемы – и в свою очередь состоит из 5 еще более мелких фрагментов. При этом фрагменты 1.1 и 1.2 – по сути однотипны. Также как и фрагменты 3.1, 3.2 и 3.3.
Точно так же, тестируя отдельные фрагменты, можно обнаружить пробелы в знаниях. Если фрагмент достаточно крупный – его можно также разбить на отдельные фрагменты – и протестировать по отдельности.
Проблемное место найдено?
Например, тестирование разложения на простые множители может показать – что ученик не понимает концепцию составных и простых чисел. При этом темы, от которых зависит понимание простых множителей – поняты на хорошем уровне. В частности, темы «целочисленное деление» и «остаток от деления».
Это означает что проблемная тема найдена и именно ее надо прорабатывать. Рассказывать, как конкретно прорабатывать ту или иную тему я не будут – это тема даже не для отдельной статьи. У каждой такой темы есть более и менее известные когнитивные проблемы. И для каждой темы необходимо их разбирать отдельно.
Проход в обратном направлении
Естественно, это не значит, что проблемное место было единственным. Вполне возможно, что есть и другие проблемные места. Поэтому после проработки темы следует пройти в обратном направлении.
Возможно, на очередном тестировании выяснится, что ученик опять допустил ошибку. Фактически это указание на существование другой проблемной темы. В этом случае проблемная тема опять дробится на все более мелки фрагменты и ищется тот фрагмент, который лежит в основе проблемы.
В качестве заключения
Да, это скучно и рутинно. И именно в этом заключается прелесть этого метода. Никаких превозмогай, выматывающих нервы. Никаких гениальных откровений – которые толи будут, толи нет. Простая, честная, последовательная работа. Учитель знает список проблемных мест ученика, сам ученик или его родители знают.
Ученик может заниматься самостоятельно и проверять себя – он тоже может самостоятельно. Учитель именно руководит обучением, а не тащит ученика на своем горбу. Но да, чтобы использовать этот подход – придется принять цифровизацию, индивидуальные профили учеников, индивидуальные домашние задания и много чего, что пугает современного учителя.