Попалось мне в банке заданий ФИПИ на днях неравенство с логарифмом по основанию 8. Выглядит оно следующим образом:
Для поиска удобно использовать следующую запись: log(8,x)/log(8,(x/64)) >= 2/log(8,x) + 3/(log(8,x)^2-log(8,x^2)
Давайте сначала осознаем происходящее: это неравенство, которое можно свести к дробно-рациональному заменой, при этом сначала обязательно укажем область допустимых значений.
Как мы видим, все х>0, что значительно упрощает жизнь. Главное теперь не забыть объединить с ответом)
Переходим к упрощению знаменателей.
Выполним замену, перенесем всё в одну сторону и приведем к общему знаменателю.
Воспользуемся свойством дробно-рациональных неравенств:
Выглядит ужасно, но суть всего лишь следующая: и сверху и снизу находятся корни нашего неравенства, только точки в знаменателе будут выколоты вне зависимости от строгости самого неравенства.
Если корень повторяется чётное количество раз то говорят, что это корень чётной степени и рядом с ними ставят флажок. Флажок также дублируется и на координатную прямую. Назначение флажка элементарное: при переходе через него знак неравенства не будет чередоваться (вспоминаем метод интервалов). Посмотрим как это теперь выглядит вместе с объединением:
Знак у нас был нестрогий, 8-ка закрашена в основной части и принадлежит ОДЗ так что тоже является ответом.
Вот так легко и просто мы решили это неравенство.
Желающие могут попробовать себя в следующем неравенстве:
С праздником!
#егэ #егэпрофиль #математика #неравенства #логарифм #логарифмическоенеравенство #подготовкакегэ