В этой статье мы решим задачу № 8 из демонстрационного варианта ЕГЭ-2023 года по информатике. Задача проверяет знание основных понятий и методов, используемых при измерении количества информации, встречаются задания на комбинаторику. В соответствии со спецификацией ФИПИ задача относится к базовому уровню сложности и оценивается в 1 балл, рекомендуемое время на решение этой задачи составляет 4 минуты. В конце статьи будет ссылка на тест на портале Эрудит.Онлайн. В этом тесте вы сможете потренироваться в решении задач такого типа. Обращайте внимание не только на правильность решения, но и на затраченное время.
Демонстрационный вариант ЕГЭ-2023 по информатике
Определите количество пятизначных чисел, записанных в восьмеричной системе счисления, в записи которых только одна цифра 6, при этом никакая нечётная цифра не стоит рядом с цифрой 6.
Решение на Python
Что же от нас хотят в этом задании? От нас хотят, чтобы мы создали все возможные комбинации пятизначных чисел, каждая цифра в которых может принимать значение от 0 до 7 включительно. Далее необходимо оставить только те числа, которые содержат одну цифру 6, и проверить, что на позиции слева и справа от этой шестерки стоит чётное число.
Решение будем искать с помощью языка программирования Python. Данную задачу можно решать с помощью полного перебора, однако мы предлагаем воспользоваться модулем itertools, а именно функцией product, которая создаст все возможные комбинации по заданному набору символов.
Шаг 1. Подключаем модуль и создаем коллекцию, передавая в параметрах символы, из которых будут составляться комбинации, и длину комбинаций.
Шаг 2. Заводим счетчик k. Будем перебирать в цикле каждый элемент коллекции numbers. Применим функцию join, получая строку numb. Это сделано для удобства, так как n представляет собой кортеж символов, что затруднит проверку необходимых условий.
Шаг 3. Если количество символов 6 в строке numb равно единице и первый символ строки не 0 (иначе число будет не пятизначным, а четырехзначным), перейдем к следующей проверке.
Шаг 4. Далее необходимо проверить, что слева и справа не стоят нечётные цифры, это можно сделать с помощью проверки на вхождение подстроки в строку. Таких подстрок будет 8: 16, 36, 56, 76, 61, 63, 65, 67. Если и это условие выполняется, то мы нашли подходящее число, тогда увеличим счетчик на 1.
В конечном виде код программы выглядит следующим образом:
После запуска моментально получаем ответ: 2961.
Решение аналитическое
Посчитаем все подходящие нам числа аналитически. Раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами, называется комбинаторикой. Эта задача является типичной комбинаторной задачей.
В восьмеричной системе счисления восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Так как число пятизначное, то на первом месте не может стоять цифра 0.
По условию в числе есть только одна цифра 6. Рассмотрим возможные числа в зависимости от местоположения цифры 6.
1. Цифра 6 стоит на первом месте, тогда на втором месте может стоять любая из трёх оставшихся чётных цифр. На остальных позициях может стоять любая из семи оставшихся цифр. Всего чисел получится 1 · 3 · 7 · 7 · 7 = 1029 чисел.
2. Цифра 6 стоит на втором месте. Тогда на первом месте могут стоять другие два чётных числа (2 или 4). На третьем месте может стоять любая из трёх оставшихся чётных цифр. На остальных позициях могут стоять любые из 7 цифр. Всего чисел получится 2 · 1 · 3 · 7 · 7 = 294 числа.
3. Цифра 6 стоит на третьем месте. Тогда на втором и четвертом месте может стоять любая из оставшихся чётных цифр, на первом месте может стоять любая из 6 цифр (кроме 0), а на остальных позициях может стоять любая из 7 цифр. Всего чисел получится 6 · 3 · 1 · 3 · 7 = 378 числе.
4. Цифра 6 стоит на четвертом месте. Аналогично предыдущему случаю таких числе будет 378.
5. Цифра 6 стоит на последнем месте. Тогда на четвёртом месте может стоять любая из трёх оставшихся чётных цифр. На первом месте может стоять любая из 6 цифр (кроме 0). На остальных позициях может стоять любая из семи оставшихся цифр. . Всего чисел получится 6 · 7 · 7 · 3 · 1 = 882 числа.
Всего получается 1029 + 378 · 2 + 294 + 882 = 2961 чисел.
Ответ: 2961.
Потренироваться в решении задач такого типа можно на портале Эрудит.Онлайн в тесте «ЕГЭ-2023 Задача № 8», а также в тесте «Элементы комбинаторики».
Разборы других задач:
- Задача № 7 из ЕГЭ-2023 по информатике