Здравствуйте! Сегодня разбираемся с тождественными преобразованиями выражений. Соглашусь, задания, которые будут представлены ниже не кажутся слишком уж сложными, но тем не менее вызывают трудности у 7-классников. Особенно, учитывая, что это одна из самых первых тем в курсе алгебры (конечно, делаем поправку на различие программ и учебников, не судите строго).
1. Понятийный аппарат, свойства и принципы счёта
Тождественные преобразования выражений — это такие преобразования, которые не меняют значение выражения при любых допустимых значениях переменных. Они основаны на свойствах арифметических операций и алгебраических законов. Цель тождественных преобразований — упростить выражение, привести его к более удобному для вычислений или анализа виду.
Грубо говоря, при проверке выражений на тождественность, требуется убедиться в равенстве левой и правой сторон при любых допустимых значениях переменных. Если равенство выполняется - перед нами тождество.
Законы умножения
Законы умножения — это правила, которые описывают свойства умножения чисел (и, шире, элементов в различных алгебраических структурах). Основные законы умножения следующие:
• Коммутативный закон (переместительный): Порядок множителей не влияет на результат. a•b = b•a
Пример: 5•3 = 3•5 = 15
• Ассоциативный закон (сочетательный): При умножении трех и более чисел, результат не зависит от расстановки скобок. (a•b)•c = a•(b•c)
Пример: (2•3)•4 = 2•(3•4) = 24
• Дистрибутивный закон (распределительный): Умножение суммы (или разности) на число равно сумме (или разности) произведений каждого слагаемого на это число. a•(b + c) = a•b + a•c и a•(b - c) = a•b - a•c
Пример: 2•(3 + 4) = 2•3 + 2•4 = 14
• Умножение на 1 (нейтральный элемент): Умножение любого числа на 1 дает то же число. a•1 = 1•a = a
Пример: 7•1 = 7
• Умножение на 0 (нулевой элемент): Умножение любого числа на 0 дает 0. a•0 = 0•a = 0
Пример: 9•0 = 0
Раскрытие скобок
Общие советы:
- Будьте внимательны к знакам: Ошибки в знаках — самая распространенная причина неправильного раскрытия скобок.
- Работайте аккуратно: Записывайте каждый шаг преобразования, чтобы избежать ошибок.
- Проверяйте результат: После раскрытия скобок проверьте, соответствует ли полученное выражение исходному.
Произведение одночлена и многочлена:
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена, а затем сложить полученные произведения. Важно учитывать знаки и правила умножения степеней.
Произведение многочлена и многочлена:
Для умножения многочлена на многочлен, каждый член первого многочлена нужно умножить на каждый член второго многочлена, а затем сложить все полученные произведения.
Раскрытие скобок, произведение одночлена на многочлен и произведение многочленов как раз-таки и являются следствиями распределительного закона умножения.
Знаки при умножении
1. Умножение чисел с одинаковыми знаками:
- (+)•(+) = + (плюс на плюс дает плюс)
- (−)•(−) = + (минус на минус дает плюс)
2. Умножение чисел с разными знаками:
- (+)•(−) = − (плюс на минус дает минус)
- (−)•(+) = − (минус на плюс дает минус)
Подобные слагаемые
Подобные слагаемые — это алгебраические выражения, которые содержат одинаковые переменные, возведенные в одинаковые степени. Коэффициенты при этих переменных могут быть разными.
Примеры:
✅Подобные: 3x² и -5x² (одинаковая переменная "x" в квадрате)
✅Подобные: 7ab и 2ab (одинаковые переменные "a" и "b", обе в первой степени)
✅Подобные: -2 и 5 (нет переменных, являются подобными слагаемыми - константы)
❌Не подобные: 4x² и 4x (разные степени переменной "x")
❌Не подобные: 2xy и 3xz (разные переменные)
❌Не подобные: 5a²b и 5ab² (разные степени переменных "a" и "b")
Сложение подобных слагаемых: Для сложения подобных слагаемых, складываются (или вычитаются) их коэффициенты, а переменная часть остается неизменной.
Примеры:
- 3x² + (-5x²) = (3 - 5)x² = -2x²
- 7ab + 2ab = (7 + 2)ab = 9ab
- -2 + 5 = 3
2. Практическая отработка
В данном номере нужно сначала увидеть порядок действий.
В пункте а) просто перемножение одночленов: отдельно умножаются коэффициенты и отдельно переменные.
В пункте б) идет уже раскрытие скобок, каждое слагаемое в скобке умножается на -3, обязательно нужно учитывать знак результата -1,6•(-3)=+4,8 (-)•(-)=(+)
В пункте в) аналогичный принцип с б)
Здесь, помимо раскрытия скобок, необходимо привести подобные слагаемые. Для наглядности я переписала их группами (сначала слагаемые одного типа, потом другого). Учитываем знаки!
Есть два подхода: правильный и дикий.
- Дикий - подставить сразу значение a и вычислять значение выражения.
- Правильный - действовать по алгоритму, уже указанному в задании (СНАЧАЛА упростить, а потом подставлять).
Внимание! Во всех подобных заданиях, где в конце указаны значения переменных, нужно действовать правильно!
Что значит формулировка «доказать, что значение выражения не зависит от переменной»? Очень просто, это значит, что в результате упрощения, данная переменная пропадет. Если пропала => не зависит, если не пропала => вы сделали неправильно)))
Очень классное задание, где не известны значения a и b по отдельности, но есть их сумма. Значит, пляшем от суммы. В самом выражении есть 3a+3b, что является утроенной суммой. Пользуемся этим и решаем.
Спасибо за внимание!
Читайте также: