Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 6 и AH = 2√5
Решение:
а) EH = AH, BH ⟂ AE → △ ABE - равнобедренный → BE = AB → ∠ BAE = ∠ BEA
Аналогично △ ADE - равнобедренный → AD = ED → ∠ ADH = ∠ EDH
Пусть ∠ EDH = ∠ ADH = х, тогда ◡ BC = ◡ AB = 2x (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается)
∠ CFA = 1/2 ◡ ABC = 1/2( ◡ AB+ ◡ BC) = 2x (вписанный угол)
∠ CFA = ∠ BEA = 2x (соответственные углы при секущей AF и прямых CF, BE)→ CF || BE
△ CBD - прямоугольный треугольник → ∠ BCD = 90- ∠ BDC = 90-x
△ HED - прямоугольный треугольник→ ∠ HED = 90- ∠ HDE = 90-x
∠ HED = ∠ BCD = 90-x (соответственные углы при секущей CD и прямых BC, AF) → BC || AF → BC || FE
Имеем:
BC || FE, CF || BE → BCFE - параллелограмм
б) △ BHA: BH2 = AB2 - AH2 = 36 - 20 = 16 → BH = 4
По свойству пересекающихся хорд имеем:
BH ⋅ DH = AH ⋅ FH
BH ⋅ DH = AH ⋅ (FE+EH)
(FE = CB, так как BCFE - параллелограмм)
4 ⋅ DH = 2 √5 ⋅ (6 + 2 √5 )
4 ⋅ DH = 20 + 12 √5
DH = 5 + 3 √5
SABED = 1/2 ⋅ AE ⋅ BD = 1/2 ⋅ 4 √5 ⋅ (5 + 3 √5 + 4 ) = 2 √5 ⋅ (9 + 3 √5 ) = 30 + 18 √5
SBCFE = FE ⋅ BH = 6 ⋅ 4 = 24
SCBE = 1/2 ⋅ SBCFE = 12
SABCD = SCBE + SABED = 12 + 30 + 18 √5 = 42 + 18√5
Ответ: б) 42 + 18√5