Три тела массами m1 = 4 кг, m2 = 6,4 кг и m3 = 6 кг взаимодействуют через нить, проходящей по системе блоков (см. рисунок). Коэффициент трения между третьим телом и поверхностью μ = 0,2. Все блоки считать невесомыми. Каково ускорение тела массой m2?
Начнем с того, что тела m1 и m3 связаны одной нитью. Это говорит о том, что сила натяжения нити для них одинакова. Рассмотрим тела по отдельности.
Составим уравнение по II закону Ньютона для первого тела:
Направление ускорения изначально неизвестно - выбираем произвольно.
Теперь рассматриваем третье тело.
Составим уравнение по II закону Ньютона для третьего тела:
Из второго уравнения для этого тела выразим реакцию опоры. Затем найдем силу трения и подставим в первое уравнение для третьего тела.
Выразим из уравнений первого и третьего тел силы натяжения нити:
Приравняем их:
Мы получили связь ускорений первого и третьего тел.
Теперь рассмотрим второе тело. Нас в большей степени интересует блок:
Вот так все сложно. На блок кроме силы тяжести действует две силы натяжения нити. Для центра блока однозначно, что:
Наша задача теперь увязать ускорения первого и третьего тел с ускорением второго тела. Понадобится воображение.
Если у разных точек тела одинаковое ускорение, то тело движется поступательно:
Все точки этого тела имеют такое ускорение.
Если у одной из точек тела есть ускорение, и есть точка, у которой ускорение равно нулю (например, нижняя точка не имеет ускорения), то такое тело вращается вокруг точки с нулевым ускорением:
Возникает угловое ускорение ε. Такое угловое ускорение можно рассчитать, как:
Здесь d - радиус вращения.
Если вектор ускорения точки перпендикулярен радиусу вращения, то такое ускорение называется касательным. Вектор ускорения любой точки тела будет перпендикулярен радиусу вращения, проведенного из данной точки в точку вращения.
Если рассматриваемое тело твердое, то угловые ускорения всех точек тела одинаковы. Это значит, что достаточно знать ускорение одной точки и расстояния остальных точек от точки вращения для нахождения ускорений:
Посмотрим, как распределяются ускорения точек, лежащих на отрезке, соединяющим верхнюю и нижнюю точки тела:
У каждой такой точки свой радиус вращения. Во сколько раз этот радиус меньше радиуса точки с известным ускорением (в нашем случае считаем известным a1), во столько раз ускорение этой точки будет меньше известного ускорения. Так ускорение центра тела в данном случае будет в два раза меньше ускорения a1.
Сложнее, если у разных точек тела разные ускорения:
В этом случае у тела одновременно происходит два движения: поступательное и вращательное. Поступательное движение происходит с ускорением a2. Вращательное движение происходит за счет избыточной части ускорения a1.
Еще раз: если бы верхняя и нижняя точка тела в нашем примере имели бы одинаковые ускорения, то тело двигалось бы только поступательно (a2 и a1пост). Но у ускорения a1 есть избыточная по отношению к a2 часть (a1вр). Именно эта избыточная часть вызывает вращательное ускорение верхней точки вокруг нижней. В этом случае касательным ускорением будет a1вр. Тогда
Как же быть с центром данного круга? Каково его ускорение? И так, при поступательном движении все точки тела имеют одинаковое ускорение. При вращательном движении ускорение точек зависит от радиуса вращения. Центральная точка участвует в двух этих движениях. Значит, ускорение центра ac будет результатом поступательного и вращательного ускорений:
С поступательными ускорениями разобрались - они все равны. Теперь вращательные. Радиус вращения центра равен половине радиуса вращения верхней точки, тогда:
А чему равно вращательное ускорение верхней точки? Очевидно, что:
И теперь получаем, что:
Ура! Получили вращательное ускорение центральной точки. Находим полное ускорение центра:
Посмотрите, это же теорема о средней линии трапеции!!!
Теперь вернемся к нашей задаче.
Из долгой теории понятно, что:
Из уравнения связи между ускорениями всех тел выразим первое ускорение:
Теперь, чтобы все было в одном месте, соберу нужные уравнения в кучу:
В этой куче находим третье уравнение (связь между первым и третьим телом) и подставим вместо a3 наше полученное выражение:
Выразим a1:
Подставим в первое уравнение кучи:
Подставим эту силу натяжения в последнее уравнение кучи:
Выражаем ускорение:
Ответ: a2 = 2 м/с^2.