Многое ли из школьных знаний по математике вы используете в повседневной жизни? Думаю, на удивление мало.
Этот вопрос лежит в основе проблемы переноса навыков — как мы применяем то, чему научились, к новым проблемам и ситуациям. Большую часть прошлого года я провел, копаясь в исследованиях, связанных с этой темой. То, почему нам не удается использовать изученную математику, выглядит тривиально, но это раскрывает фундаментальные принципы обучения.
Прежде чем я перейду к объяснениям, давайте рассмотрим доказательства моего утверждения о том, что большинство людей не используют школьную математику.
Доказательства того, что математика почти не используется в реальной жизни
Случайное наблюдение показывает, что в повседневной жизни большинство людей не используют математику, за исключением простой арифметики. Мало кто вспоминает дроби, тригонометрию или алгоритмы деления многозначных чисел, которые изучаются в школе. Более продвинутые инструменты, такие как алгебра, используются для решения повседневных задач еще реже.
Исследование в целом подтверждает это. Опрос 18 тысяч случайно выбранных американцев, проведенный в 2003 году, включал математические задачки в ситуациях, с которыми могут столкнуться рядовые люди. Авторы опроса создали следующую шкалу для ранжирования способностей:
- Ниже базового — сложить два числа, чтобы пополнить счет через банкомат.
- Базовый — рассчитать стоимость бутерброда и салата, используя цены из меню.
- Промежуточный — рассчитать общую стоимость заказа канцелярских товаров, используя страницу из каталога и форму заказа.
- Компетентный — рассчитать долю работника в расходах на медицинское страхование за год, используя таблицу, которая показывает, как ежемесячные расходы зависят от дохода и размера семьи.
Только 13% американцев получили оценку «компетентный», в то время как более половины оказались на «базовом» или «ниже базового» уровнях.
Антропологические исследования подтверждают наблюдение, что большинство людей не в состоянии использовать высшую математику. Жан Лав проводила полевые исследования, наблюдая за использованием математики в повседневной жизни. Она обнаружила, что люди достаточно хорошо справляются в реальных условиях, но их производительность падает, когда те же задачи выражаются в форме теста.
В одном часто цитируемом эпизоде человек пытался вычислить 3/4 от 2/3 стакана творога. Вместо применения математики (умножение дробей дало бы легко измеримый ответ 1/2 чашки), человек зачерпнул 2/3 стакана, сделал грубый круг на столе и убрал четверть.
Я не считаю, что математику никто не знает, или она бесполезна. Очевидно, что некоторые люди знают математику очень хорошо и применяют ее для решения повседневных задач. Представители математических профессий с большей вероятностью применяют ее как в работе, так и в быту. Вопрос в том, почему этого не делает большинство, несмотря на то, что мы тратим на математику много лет.
Почему люди не пользуются математикой
Я вижу три объяснения неспособности использовать математику в повседневной жизни:
- Большинство людей недостаточно хорошо знают математику, чтобы использовать ее без особых усилий.
- Мы изучаем математику в школе, но не можем перевести реальные задачи в формат, в котором можно применить математические знания.
- Большая часть высшей математики бесполезна для повседневных задач.
Объяснение №1: Большинство людей недостаточно хорошо знают математику, чтобы ее использовать
Первый аргумент говорит о провале в образовании. Люди не используют математику, потому что не учили ее достаточно тщательно, чтобы использовать должным образом.
В пользу этого аргумента говорит многое. Одно из основных препятствий для использования навыка в реальной жизни — это автоматизм. Мы стараемся решать проблемы с наименьшими усилиями. Если вам трудно решить вопрос с помощью математики, вы найдете другой способ.
Кажется, это лучше всего объясняет случай с творогом. Предположим, человек свободно разбирается в дробях. В этом случае мысленное решение «2/3 x 3/4 = 6/12 = 1/2» требует гораздо меньше усилий, чем вычерпывание творога и деление его вручную.
Отсутствие автоматизма объясняет трудности, с которыми люди столкнулись при ответе на количественные вопросы в опросе. Математика плохо им давалась, что приводило к ошибкам в рассуждениях.
Объяснение № 2: Большинство людей не умеют переводить ситуации из реальной жизни в математические задачи
Второй аргумент немного отличается. Он говорит, что люди хорошо учат предмет, но им трудно перевести проблемы из реальной жизни в формат, позволяющий использовать математические знания.
Это кажется наиболее очевидным в случае применения алгебры. Студентам не дается алгебра, но сложнее всего им решать текстовые задачи. А эквивалентные задачи из реальной жизни обычно еще сложнее, чем текстовые.
Текстовая задача появляется на уроке алгебры, так что вы знаете, что именно ее нужно применить для решения. Кроме того, учителя редко ставят неразрешимые задачи, поэтому вы знаете: ваших предварительных знаний должно быть достаточно для решения. Наконец, текстовые задачи в основном бывают стереотипными (поезда отправляются из разных городов), что тоже служит своего рода подсказкой. Алгебраически представить реальные проблемные ситуаций обычно намного сложнее.
Вот пример из бизнеса. В нашей местности налог с продаж добавляется к заявленной цене покупки. То есть, если вы продаете товар за $10 с налогом с продаж в 10%, то вы берете с покупателя $11 и откладываете $1 для правительства. Однако наше программное обеспечение в какой-то момент не умело добавлять налоги с продаж, поэтому нам приходилось вручную рассчитывать, сколько отправлять правительству.
Недолго думая, человек, с которым я работал, сказал, что нам нужно платить 10% наших продаж. Однако это вовсе не так. Если бы он применил алгебру, задача выглядела бы так: собранная сумма = фактические продажи + фактические продажи*10%. Причитающиеся налоги будут представлять собой собранную сумму, разделенную на 1,1 и умноженную на 10%. За $10 это будет $0,91.
Когда задача была сформулирована как алгебраическое уравнение, человек сразу увидел правильный ответ. Простая мысль, что сумма налога должна быть на 10% больше, чем оставшаяся сумма, помогла ему принять правильное решение. Хитрость заключалась в том, чтобы признать необходимость применения алгебры.
С этой точки зрения у людей проблема не с математикой, а с пониманием того, где и как применять ее к реальным задачам.
Объяснение № 3: математика не так уж полезна для решения повседневных задач
Третье объяснение заключается в том, что математика — не самая лучшая стратегия решения проблем, которые не относятся к строгим количественным дисциплинам. Человек смог отмерять нужное количество творога, не умножая дроби.
Интересно, что у людей разные взгляды на эту проблему. Люди, хорошо разбирающиеся в математике, отмечают, что математика очевидно полезна, и это единственный способ получить правильные ответы на количественные задачи. Люди, плохо разбирающиеся в математике, склонны недооценивать ее важность в повседневной жизни.
Сторонники математики утверждают, что люди не способны увидеть ее значимость в повседневной жизни потому, что не умеют ее использовать. Решения, которые вам доступны, определяются знаниями. Если знаний не хватает или усилий недостаточно, то вы не считаете нужным их использовать.
Критики утверждают, что математические эксперты предвзяты в отношении невозвратных издержек. Они приложили много усилий, чтобы хорошо выучить математику. Поэтому, естественно, считают ее «правильным» способом решения большинства проблем, даже если многие из них можно решить другими способами.
Все ценят имеющиеся знания и сбрасывают со счетов те навыки, которыми они не обладают. Вероятно, предвзятость идет с обеих сторон.
Я склоняюсь к первой группе, но, возможно, я предвзят из-за того, что много изучал математику!
Как сделать математику более полезной?
Оставив на мгновение объяснение № 3, давайте представим, что сторонники математики действительно правы в отношении ее общей полезности. Что можно сделать, чтобы упростить применение математики?
Кажется, есть несколько вариантов:
- Больше математической практики. Чем больше времени вы практикуетесь, тем проще вам использовать математику для несложных вычислений. Неспособность в достаточной степени освоить академические предметы приводит к тому, что многие знания оказываются бесполезными для практических целей.
- Больше практики интерпретации проблемных ситуаций. Многих студентов учат математике только как манипуляции символами. О том, как выявлять ситуации, в которых все это может быть полезно, говорят гораздо меньше. А нужно научить студентов замечать и преобразовывать повседневные ситуации в математические задачи, которые они умеют решать.
- Предлагать жизненные задачи, которые требуют математики. В конечном счете, навыки и знания закрепляются в процессе использования. Если вы не встречаетесь с задачами, которые требуют неких навыков, вы их утрачиваете. Причина, по которой люди STEM-профессий сохраняют острые математические навыки, заключается в том, что они нужны им острыми.
То же самое можно сказать почти про любую учебную дисциплину. В любом случае, полезные навыки сочетают в себе автоматизм, умение выявлять и интерпретировать проблемы и постоянное их применение в реальном мире. В противном случае полученные знания не выйдут за пределы учебного класса.