Соображения симметрии и инвариантноси давно уже играют в физике важную роль. Е. Вигнер ([1], стр. 214)
«Когда-то симметрию называли «гармонией мира»» [1]. Сегодня с этим словом знакомится каждый школьник, как только он начинает изучать геометрию. Такие понятия, как осевая или зеркальная симметрия, центральная симметрия, симметрия поворотов знакомы всем. Каждый, кто хоть раз сталкнулся с восточными узорами в архитектуре, настенной и напольной мозаикой или завораживающими переплетениями на коврах (Рис. 1), невольно начинает понимать, что все эти хитросплетения относятся к симметрии, которую принято называть геометрической.
Рис. 1
А, между тем, мало кто задумывался, сколько же всего существует разновидностей (типов) плоских орнаментов. В своё время такой вопрос поставили математики и выяснилось (например, [3], стр. 125), что существует всего 17 существенно различных типов орнаментов. Не так уж и много. Их даже можно все показать, но мы не будем тратить на это время. В узорах древних архитекторов все они были использованы, хотя вряд ли кто из них в те далёкие времена мог об этом задумываться.
Симметрию, порой, не сразу можно и заметить. Симметрия, зачастую, бывает скрытной. Всем известны три знаменитых трансцендентных числа π (пи), е и φ (фи). Ни наука, ни искусство, ни сама жизнь не могут обойтись без этих чисел. Вернее – эти числа сами вдруг появляются в нашем поле зрения. Мы не ищем их специально, но они упорно дают о себе знать. Все эти числа трансцендентные – десятичный «хвост» каждого из этих чисел бесконечен. Какая уж здесь симметрия. А между тем, каждое из этих чисел по своему связано с симметрией. Число π – это отношение длины окружности к её диаметру. Уж более чем окружность нет на плоскости симметричной фигуры. И осевая – зеркальная, и центральная, и поворотная всё здесь.
Подобным образом можно определить и число φ («золотая» пропорция) – отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне. Правильный пятиугольник – фигура тоже очень симметричная. А в живой природе симметрия пятого порядка, пожалуй, самая распространённая. А многочисленные вирусы почти все обладают симметрией икосаэдра, в основе которой также лежит симметрия пятого порядка. Так что числа π и φ напрямую связаны с симметрией (Рис.2).
Немного по другому обстоит дело с числом е – основанием натуральных логарифмов. Оказывается, что существует не только геометрическая симметрия, но и алгебраическая. Сейчас вы всё поймёте. Неискушённый читатель вряд ли знаком с теоремой об «Исключении» ([5], стр. 160). Простыми словами, не прибегая к математическим иероглифам, эту теорему можно описать так. Рассмотрим действительные числа большие единицы. Оказывается, что для любого числа X существует такое число Y не равное X, что выполняется равенство: X ^ y=Y ^ x.
Но исключением для данной теоремы как раз и является число е. Для числа е нет числа отличного от е, чтобы выполнялось данное равенство.
Думаю, что каждый из вас видит алгебраическую симметрию уравнения теоремы об «Исключении». Немного отвлечёмся и отметим, что числа π и е связаны между собой удивительной формулой Эйлера - е ^ (i π )+1=0. Кроме того. Есть исследования [6], где показано, что числа эти связаны с симметрией самого пространства-времени (П-В). Число π отвечает за изотропность П-В (одинаковость по всем направлениям), а число е связано с однородностью П-В.
Более хитро связаны между собой числа е и φ. Это относится опять же к теореме об «Исключении». Но оказывается, что есть формула, которая связывает все три знаменитых числа вместе. Эта формула имеет вид
w=( φ *e)/ π . Связана она с изучением паркетов и теорией вероятностей ([5], стр. 179). Но сегодня мы говорить об этом не будем.
Говоря о геометрической симметрии мы имели в виду симметрию на плоскости. Симметрия пространства связана в первую очередь с миром природы, миром кристаллов. Ведущую роль в исследовании пространственных кристаллографических групп сыграли работы известного российского учёного Е. С. Фёдорова ещё в позапрошлом веке. Таких групп симметрий оказалось ровно 230 Помните, на плоскости существует 17 групп, а в пространстве – 230 В нашем разговоре появилось слово «группа» и это не случайно, но об этом чуть позже.
Системно подошёл к исследованию симметрии французский учёный, лауреат Нобелевской премии (получена не за изучение симметрии) Пьер Кюри. Он ввёл понятие: предельная группа симметрии. Оказалось, что предельных групп существует 7. Наглядно их можно представить тремя фигурами: Шаром (двух видов: стационарным и закрученным вокруг выбранного диаметра), конусом (двух видов: опять же стационарным и закрученным вокруг своей высоты) и цилиндром (трёх видов: стационарным, закрученным и скрученным, подробнее об этом см. [7]).
Как оказалось симметрии не только помогают увидеть скрытые стороны каких-то объектов, но и сами могут выступать в качестве элементарных объектов геометрических и алгебраических структур. Все мы знаем, что существует не мало различных геометрий. Всем нам знакома геометрия Эвклида, которую мы изучаем в школе или геометрии Лобачевского и Римана, которые взяли на вооружение физики. Но оказывается можно построить геометрию, где в качестве точек будут использованы одни симметрии, а в качестве прямых – другие [4]. Пока – это экзотические исследования, но не исключаю возможности, что когда-нибудь и геометрия, построенная на основе понятия симметрии, будет востребована, например, в биологии или экологии.
Симметрия во многом помогает науке правильно понимать законы природы. Очень показательным в этом случае является создание теории электромагнетизма. Только вдумайтесь, ведь вся наша цивилизация построена на этой теории. Мы уже не можем представить себя без электричества, без интернета, без телефонов и телевизоров, без полётов в космос и пр.. «Электромагнитное взаимодействие лежит в основе большинства процессов окружающего нас мира – от масштабов нашей планеты до атомов и молекул» ([9], стр. 95). А в основе всего лежат уравнения Максвелла. Максвелл, записывая свои уравнения, руководствовался тем, чтобы символы, которые описывают магнитные явления были симметричны в уравнениях символам, описывающих электрические явления. Он умышленно приводил свои уравнения в кватернионовом виде к симметричному представлению [8]. Чуть позже Хевиссайд, переписывая и подстраивая уравнения Максвелла для инженерных нужд уже в векторном виде, тоже старался придавать им симметричный вид [2]. В результате мы получили изумительную первую теорию поля. Не будь этой симметрии в уравнениях, возможно, и не случилось бы открытия электромагнитного поля. По сути – это теория симметрии электричества и магнетизма.
Сегодня теорию групп, порой, называют теорией симметрии. Возможно, историки науки будут называть когда-нибудь ХХ век эпохой симметрии [9]. Сегодня вся передовая наука немыслима без теории групп. А началось всё наверное с «Эрлангенской программы», когда немецкий математик Ф. Клейн предложил рассматривать каждую геометрию в непосредственной связи с конкретной группой Ли (группой преобразований). В связи с этим можно например отметить, что каждой из семнадцати групп плоских орнаментов соответствует своя геометрия [10].
Сегодня теоретическая физика и особенно стандартная модель (СМ) вся пронизана экзотическими симметриями. Четыре силы взаимодействий, которые сегодня известны в науке (электромагнитное, слабое, сильное или ядерное и гравитационное), начали своё великое объединение благодаря открытию симметрий, которыми они описываются. Вообще вся современная квантовая механика очень тесно связана с теорией групп. Симметрии, которые описываются группами, используемыми в квантовой механике, имеют общее название калибровочных потому, что используют калибровочные преобразования. Одна из черт этих преобразований, которая привлекла физиков, это то, что калибровочная симметрия описывает дальнодействующие поля. А мы знаем, что свойством дальнодействия обладает и электромагнитноен поле, и гравитационное.
Симметрия, которая объединила два взаимодействия электромагнитное и слабое в рамках СМ, называается унитарной симметрией и обозначается SU(2). Ядерное взаимодействие описывается симметрией SU(3). «Поиск новых симметрий стал главным средством, помогающим физику в наши дни продвигаться к пониманию мира» [8]. Может быть это будет какая-то новая симметрия SU(2) Х SU(3) = SU(5).
Уже очерчены общие характерные контуры в свойствах и строении теорииатомных ядер. Симметрия, описывающая эти своиства назвается симметрией изотопического спина. По словам П. Девиса «...все взаимодействия существуют лишь для того, чтобы поддерживать в природе некий набор абстрактных симметрий» ([8], стр. 123).
Чтобы объединить все силы взаимодействия в одну требуется какая-то неизвестная пока суперсимметрия. Дело поиска этой суперсимметрии – задача математиков. Однако, вторя Е. Вигнеру, а его слова и сегодня очень актуальны, хочется задать вопрос: «почему теория групп описывает природу»?
Литература
1 Е. Вигнер, «Этюды о симметрии», М., «Мир», 1971
2 В. М. Дуков, «Электродинамика», М., «Высшая школа», 1975
3 Г. Вейль, «симметрия», М., «Наука», 1968
4 Ф. Бахман, «Построение геометрии на основе понятия симметрии», М., «Наука»,
5 Ф. Герман, «Поэзия разума», Saarbrücken, „LAP LAMBERT Academic Publishing“,
6 Б. Горобец, «Мировые константы и в основных законах физики и физиологии»,
«Наука и жизнь» №2, 2004
7 А. С, Сонин, «Постижение совершенства», М., «Знание», 1987
8 П. Девис, «Суперсила», М., «Мир», 1989
9 Ю. С. Владимиров, «Пространство-время: явные и скрытые размерности», М.,
«Наука», 1989
10 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревич, «Геометрии и группы», М., «Наука», 1983
Франц Герман
Всего Вам доброго.
