Ещё до выхода в 1703 году известного учебника «Арифметика»
Л.Ф. Магницкого в России существовала традиция обучать арифметике через решение задач практического содержания. Так же обучали детей азам математики и у других народов.
Многие типовые задачи решали «по правилам», сообщённым учителем. Ученики часто не понимали, почему применяемое правило приводит к верному результату. Тогда и не ставили задачи, чтобы ученик всё понимал. Он должен был выучить «правило» и применять его «по разумению».
С той поры методика обучения существенно шагнула вперёд, но даже в середине XX века в обучении решению задач в советской школе сохранились следы обучения «по правилам». Более подробно об этом написано в книге «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» (раздел Статьи на сайте www.shevkin.ru ).
В заметке Как эффективно обучать детей решению текстовых задач на Яндекс Дзен я уже писал о последствиях отказа от арифметических способов решения текстовых задач и раннего применения уравнений для решения задач. Приведу ещё один аргумент сторонников такого отказа. «По мнению С.Л. Соболева, как правило, после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приёмами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса?»
[Н.А. Менчинская, М.И. Моро].
Так вот на самом деле всё обстоит не совсем так. Мои многолетние наблюдения показали, что если ученик в 6 классе обучен делить число в данном отношении арифметическим способом, то в 9 классе он именно этим способом вычисляет части, на которые биссектриса угла делит противолежащую сторону треугольника с заданными сторонами.
Но вернёмся к традициям. В России, потом в СССР до середины 60-х годов XX в., обучали решению типовых текстовых задач арифметическими способами, развивая мышление и речь школьников. Интересно, что это почти исключительно российский феномен. Приведу примеры из статей В.С. Доценко и А.Л. Тоома, сохранённых на упомянутом выше сайте. Вот пример использования текстовых задач во Франции. Интересно отношение преподавателей университета к возможности включения такой задачи в контрольную работу.
«В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая…
Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 ч и 45 мин. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит ещё 1 ч и 45 мин с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления.
Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия — не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов, решили рискнуть выставить её на контрольную, но с условием, что те, кто её решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор этой задачи дал её решение. Решение занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: «Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит...» И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, её решили только два человека (и это были китайцы)» [В.С. Доценко].
В одной из своих статей А.Л. Тоом пишет: «Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать некоторую американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни. Я полагаю, что этот подход берёт своё начало у известного американского психолога и преподавателя Э. Торндайка, в чьей авторитетной книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины задач, дающихся в стандартных курсах, ненастоящие, поскольку в реальной жизни ответ никогда не понадобится. Очевидно, не стоит, разве что для объёма, таким образом соединять алгебраическую работу с никчёмностью».
В той же статье А.Л. Тоом приводит задачу, которая «может использоваться чуть ли не повсюду на Земном шаре без всяких ограничений, и «аргументы», на основании которых эта задача должна быть отвергнута.
Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас?
Но она объявляется негодной по следующей причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может понадобиться? Если Билл и Салли сами не знают, это какая-то семья идиотов».
Если бы обличитель «негодной» задачи не поленился её решить, то, возможно, он был бы справедливее к малым детям, ведь Биллу всего 1 год, а Салли 6 лет.
Вот ещё пример. В другой статье А.Л. Тоом приводит высказывание З.Усыскина о традиционных текстовых задачах, опубликованное в главном американском журнале для учителей математики в старших классах «Учитель математики» («Mathematics teacher»): «Алгебра имеет так много подлинных приложений, что фальшивые традиционные текстовые задачи больше не нужны». Почему З .Усыскин называет традиционные текстовые задачи фальшивыми?
Он приводит задачу:
У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов, на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?
Затем З. Усыскин пишет: «Поскольку монеты в кошельке посчитаны, то почему бы не сосчитать отдельно монеты в 5 центов и отдельно в 10 центов?».
В России (и, я думаю, в огромном большинстве стран) этот странный аргумент был бы оставлен как неудачная шутка, но в Америке к нему относятся с большим почтением».
А.Л. Тоом писал: «Теперь посмотрим на следующую задачу:
Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 миль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?
Я не вижу ничего порочного в этой лёгкой задаче. По-моему, она годится в классе и даже имеет некоторые достоинства. Например, её можно использовать для демонстрации идеи относительного движения, помогающей решить её без алгебры: в системе координат, связанной с одним самолётом, другой движется со скоростью 350 + 400 = 750 миль в час, поэтому время, необходимое, чтобы увеличить расстояние на 2000 миль равно 2000/750 часов = 2 часа 40 минут. Однако, несколько лет назад эта задача была упомянута в Учителе Математики со следующим уничижительным комментарием: «Всякий нормальный ученик должен спросить: А кому это надо? Никому нет дела кроме учителя алгебры, задающего такие задачи, и ученика, которому нужна отметка. Наша программа и без того слишком перегружена, чтобы включать такие причуды».
Рассмотрим последний пример. Ниже приведены «правила», автор которых неизвестен (перевод А.Л. Тоома). Они были посланы на один американский дискуссионный лист под названием math-teach. Все дискуссии на этом листе доступны на Интернете. Эти «правила» можно посчитать шуткой, но мы помним, что в каждой шутке есть доля правды.
Правило 1. Насколько возможно, избегай читать условие задачи. Чтение условия только отнимает время и запутывает.
Правило 2. Выпиши все числа из условия в том порядке, в каком они там даны. Не забудь о числах, написанных словами.
Правило 3. Если правило 2 дало тебе три числа или больше, то лучше всего сложить их все.
Правило 4. Если чисел только два, и они примерно одной величины, то лучше всего вычесть одно из другого.
Правило 5. Если чисел только два и одно много меньше другого, то попробуй разделить, а если не разделится, то перемножь.
Правило 6. Если у задачи такой вид, как будто надо применить формулу, выбери формулу с достаточным числом переменных, чтобы использовать все данные.
Правило 7. Если с правилами 1–6 ничего хорошего не получается, сделай последнюю отчаянную попытку. Возьми все числа, полученные с помощью правила 2, и заполни страницы две всевозможными операциями с ними. Затем обведи кружком пять-шесть полученных чисел на каждой странице на случай, если какое-нибудь из них окажется ответом. Может и получишь что-нибудь за то, что старался».
Публикуя «правила» 1–7, я выражаю надежду, что умение школьников (и учителей) России решать текстовые задачи ещё не доведено до такого отчаянного состояния, что нам не остаётся ничего другого, как поместить «правила» 1–7 в виде плаката на классной стене и обращаться к ним при столкновении с мало-мальски сложной задачей.
Если текст понравился, то ставим «палец вверх», подписываемся на канал. В комментариях оставляем возражения, предложения и пожелания.
Ваш наблюдатель Шевкин Александр Владимирович.
